数学与系统科学研究院2017年重要科研进展（九）--- 不确定性量化的高精度算法
2018/4/26 12:17:04 中国科学院数学与系统科学研究院

     不确定性量化(Uncertainty Quantification, UQ)是近年来国际上最热门的研究课题之一，其应用领域包括水文学、流体力学、数据同化和天气预测等。由于UQ问题中的大量随机参数引起的超大计算量，如何设计高效的高精度数值方法变得非常重要，与其相关的计算技术和数学理论也引起学者的高度重视。高精度随机配置方法的核心问题之一是如何设计在高维空间中的抽样方法，使得在尽可能少的样本信息下保证算法的稳定性和最佳收敛性。现有的高精度随机配置方法主要集中于随机抽样方法，即根据随机输入的类型进行随机空间的样本抽取，在这种框架下，可以在一定条件下证明算法的依概率稳定性和最佳收敛性。然而，这个框架主要存在两个研究瓶颈：(1)由于随机样本的固有属性，只能在概率意义下讨论算法的收敛性，或者换句话说，“失败概率”难以避免。(2)传统的随机抽样方法对样本的使用数量要求很高，需要样本数量至少“平方”的依赖于逼近空间自由度，这对于实际应用提出挑战。因为对于每个样本，需要求解一个可能很复杂的偏微分方程。并且，对于无穷区域的随机输入问题，传统的随机抽样方法被证明是不稳定的。

     针对以上两个瓶颈，周涛博士与合作者进行了系统研究，取得以下突破：

     一，为了消除失败概率的影响，周涛博士与许志强研究员合作，通过使用数论领域的Weil指数和定理，构造了高维空间的确定性配置点，称之为Weil样本。此样本由具体公式给出，并且易于计算。通过使用Weil样本，可以彻底消除了传统随机抽样方法中的失败概率。换句话说，通过使用Weil样本，可以证明不依赖概率的稳定性和最佳收敛性。相关研究论文信息如下：

     * Zhiqiang Xu and Tao Zhou, On sparse interpolation and the design of deterministic interpolation points, SIAM J. Sci. Comput., 36-4 (2014), pp. A1752-A1769.

     * Tao Zhou, Akil Narayan and Zhiqiang Xu, Multivariate discrete least-squares approximations with a new type of collocation grid, SIAM J. Sci. Comput., 36-5 (2014), pp. A2401–A2422.

     二，为了改进随机抽样中对于样本使用数量的严格要求，周涛博士和合作者引入了位势理论(potential theory)。与传统的抽样方法不同，我们建议采用平衡态测度(equilibrium measure)进行抽样，并且设计基于Christoffel 函数的权重，进而求解加权的随机配置方法。这个框架非常一般，既包括有界区域的随机输入问题，也包括无穷区域的随机输入问题，从而自然解决了无穷区域问题的研究瓶颈。并且，在这个框架下，可以证明“线性依赖关系”即可以保证算法在渐进意义下是最优的。相关研究论文在发表之初即获得包括多位ICM报告人在内的国际同行引用。 相关的研究论文如下：

     * John Jakeman, Akil Narayan, and Tao Zhou, A Christoffel function weighted least squares algorithm for collocation approximations, Math. Comput.,(86)2017, pp.1913-1947.

     * John Jakeman, Akil Narayan, and Tao Zhou, A generalized sampling and preconditioner scheme for sparse approximation of polynomial chaos expansions, SIAM J. Sci. Comput.,39-3, pp. A1114-1144,2017.

     来源：中国科学院数学与系统科学研究院

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