星星与绝对真理 | 混乱博物馆
2018/4/8 22:32:11 大象公会

    

     这是一期很奇怪的节目,我们从概略的回顾一些关于星形或星芒符号的故事,转而讨论这类几何形状在数学史上的两则逸闻:

     一则关于无理数的发现,一则关于欧拉多面体定理的早期争议。

     这两则逸闻将使我们对数学那种“真理性”产生一些微妙的怀疑。

    

     -文字稿-

     我们曾在第一期节目里讨论过六芒星与晶状体缝线衍射之间的关系,这当然是对观察现象的直白记录,但是当人们将它画成两个等边三角形重叠的六芒星,就成了纯粹的象征符号。

     犹太人将它看作“大卫之星”,是最有魔法的符号,这种做法一直延续到近代,它被看作大宇宙的灵符受到神秘主义的重视——在很大程度上,这是因为一正一反的两个等边三角形让人想起测地术或者古典几何学中的圆规和直角尺——而这种纯粹理性的学问长期以来被视为沟通上帝的知识。

     提到几何学乃至整个数学,这门学问在大多数人心目中都最符合“与观察者无关的恒常事物”的描述,以至于在康德以前的哲学家都将数学视为“绝对真理”,并且为绝对真理缘何进入人类的意识而激烈争辩。

     然而数学上的星形,恰恰见证了这种绝对真理的裂痕。

     我们此前多次接触过希腊的毕达哥拉斯(Pythagoras,约前580年-前500年),讨论过他的五度相生律,这是一种直接衍生自数学的乐理知识:毕达哥拉斯时代还没有通用的长度单位,也没有除法。他们如果想要知道两个长度的比例,就用绳子度量出来,然后用较长的那根减去较短那根,得到一根新的绳子,再用新绳子和原先较短的那根绳子重复这个过程,最后如果得到两根相等的绳子,就是它们的最大公约数——这就是辗转相减法。

     由于修剪绳子总是一件粗糙的事情,所有辗转相减法一定能得到公约数,毕达哥拉斯因此宣称,世界上任意两数都能公约。

     但是观察这个五角星:求取其中长边和次长边的比例,也用辗转相减法,我们就会发现这是一件无穷无尽的事情——也就是说,这两个长度不可公约。

     这在今天看来理所当然——因为我们知道这个比例就是黄金分割,一个无理数,无限不循环,很美。但在毕达哥拉斯的时代,这却毁坏了无暇的数学真理,构成了第一次数学危机——那个发现无理数的年轻人因此淹死在了水里。

     所以我们第一次看到,数学首先是描述观察现象的语言,既然观察只停留于粗糙地剪短绳子,那么据此建立的数学体系也无法应对无穷的精度。

     数学那种所谓的恒常不只这一处裂痕。

     在1750年,近代几何刚刚诞生的时候,欧拉提出过任意多面体的顶点数减去棱数加上面数等于2的经验公式,柯西在1811年证明了这个欧拉公式:

     将多面体去掉一个面压扁在平面上,成为一个网图

     添加对角线把所有面分割成三角形,每增加1条边就同时增加1个面,这不影响欧拉公式的结果

     去掉只属于1个面的边,比如图中虚线那条,这将同时减少1条边和1个面,这不影响公式结果;

     再去掉只有两条边的顶点,这将同时减少1个顶点、2条边和1个面,仍然不影响公式结果;

     不断重复前两步,任意多面体都能退化成一个三角形,而三角形有3个顶点、3条边和1个面,再加上最初去掉的那1个面,欧拉公式得证。

     这个证明让欧拉公式成为了欧拉定理,然而只可惜定理的反例层出不穷——每一步操作都能找到例外。

     而三维空间中的星形就是一个集大成者:

     “小星形十二面体”(Small stellated dodecahedron)——是用12个五角星彼此穿透构成的多面体,显然,它既不能被压扁,每个面也不能被对角线分成两半,更谈不上去掉哪条边或哪个顶点——而且它有12个顶点,30条棱和12个面,公式右边竟然是——真是忤逆。

     欧拉定理的支持者和反对者就此展开了激烈的争论,包括认为小星形十二面体不是多面体,或者认为欧拉定理仅适用于凸多面体,都差强人意。一种看上去最有效的解决方法是将小星形十二面体诠释为60个三角形围成的凹多面体,那么它就将是32个顶点,90条棱,60个面,重新满足了欧拉公式。

     但而这就引出了一个新的问题:为什么我们一定要采用符合欧拉公式的诠释呢?——或者更露骨地说,数学现象和数学结论,究竟要谁来决定谁?在激烈活跃的学术论战之上,数学知识究竟是盖棺论定的结论,还是一个动态过程的快照?

     这个复杂的问题就留给热爱数学的读者思考了。

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