神奇的双位数乘法——印度口诀秒解
2014/12/8 16:50:39 中国科普博览
网上曾流传过一个“印度乘法口诀”，不知你是否留意过。
和我们中国的乘法表不同，这个乘法表延伸到19以内，即所谓“19*19”乘法表。尽管其难度比“九九乘法表”更高，但配合特别的方法，却是更容易心算出正确的答案。
网传的印度乘法表，其乘法表除了大家熟知的九以内的乘法之外，更增加了从十到十九的相乘结果。由于双位数的乘法比个位数的要复杂得多，印度人想出一个有效的心算方法。其方法是：首先将被乘数与乘数的个位数相加，然后将之乘十；再把被乘数的个位数与乘数的个位数相乘，最后把两组数加起来便得出答案。
例如：13*12=？(这里，13是被乘数，12是乘数)
第一步：
把被乘数(13)跟乘数的个位数(2)加起来，即有13+2=15；
第二步：
把第一步的答案乘以10，即有15*10=150；
第三步：把被乘数的个位数(3)乘以乘数的个位数(2)，即有2*3=6；
第四步：第二步+第三步，即有150+6=156；
总算法：(13+2)*10 +(2*3)=156。
这种算法不难用代数的方法作出如下的解释：
我们将被乘数和乘数的个位数字(3和2)分别用A和B来表示，所以13*12可以表示为(10+A)*(10+B)。按照二项式乘法规则，我们将其展开可以得到：(10+A)*(10+B)=100+10*(A+B)+A*B=10*(10+A+B)+A*B；可以看出前面一项是被乘数加上乘数的个位数乘10，第二项就是被乘数的个位数与乘数的个位数的乘积。所以，这种心算方法是正确和可行的。
上面例1的个位数字的数值比较小，求和与求积都仍是个位数。如果数值较大，这个方法依然可用，但需要进位。这里，我们再举一个例子：16*18=？
第一步:
把(16)跟(8)加起来，即16+8=24；
第二步：
把第一步的答案乘以10，即24*10=240；
第三步：把(6)乘以(8)，即6*8=48；
第四步：第二步+第三步， 240+48=288；
总算法：(16+8)*10 +(6*8)=288。
对于这种“十几乘十几”的算法，有人还给出一个口诀：头乘头，尾加尾，尾乘尾。
其含义是：乘法的结果是一个三位数，百位上的数值是由“头乘头”给定(对于本情况，该位上的数值总是“1”)，十位上的数值由“尾加尾”给定(上面例1中，该位上的数值是5；上面例2中，该位上的数值是14，这里的十位数字要进位，这样百位上的数值就变为2)，个位上的数值由“尾乘尾”给定(上面例1中，该位上的数值是6；上面例2中，该位上的数值是48，这里的十位数字要进位，这样十位上的数值就变为8)，于是，我们很快就可以得出：
13*12=156
16*18=288
除了上面介绍的外，还有一些特殊情况的两位数乘法。
两个“头相同，尾互补(尾相加等于10)”的二位数乘法
这种乘法的口诀是：一个头加1，然后“头乘头，尾乘尾”。
例3：23×27=？
解：2+1=3
2×3=6
3×7=21
23×27=621
这里要说明的是：个位数相乘所得的积，不够两位数时，要用0占位。具体做法，可参见下面的例4：
例4：31×39=？
解：3+1＝4
4×3＝12
1×9＝9
31×39=1209
“第一个乘数两数字互补，另一个乘数两数字相同”的两位数乘法
这种乘法的口诀是：第一个头加1，然后“头乘头，尾乘尾”。
例5：37×44=？
解：3+1=4
4×4=16
7×4=28
37×44=1628
同样的，个位数相乘所得的积，不够两位数时，要用0占位。做法和第一种情况类似，例如：
例6：82×33=？
解：8+1=9
9×3=27
2×3=6
37×44=2706
怎么样，是不是很有趣？你自己会用代数的方法证明它们的正确性吗？试试看吧!
(内容来源于中国科普博览科学新语林专栏《力学园地》，《力学园地》为中科院力学所科普专栏，发于微信略有改动)
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