理论上的“无穷”在现实中真的存在吗？

理论上的“无穷”在现实中真的存在吗？
2016/7/18 17:00:51 中国科普博览

三个可能颠覆“无穷”概念的烧脑试验

     欧几里得几何魅力无穷。但凡喜欢数学的学生学了欧氏几何，都会成为数学的终生铁粉。当然我也不例外。但欧氏几何的基本假设一直让我颇为困惑：“点”是指空间中有位置但没有大小的几何图形，因此任何线段中均有无穷个点。这在抽象的数学世界里倒是不难想象，但在现实世界中，我们却无法用任何一个物体对其进行实际模拟。

     当我们看到两面平行相向而立的镜子中层层嵌套的反射镜像时，可能随口就会说，里面的镜像无止无穷。但其实，镜中像是越来越小的，达到某个物理极限时，成像就会消失不见——这跟我们所熟悉的数字图像的像素是一个道理。

     无穷的理念在许多大家熟悉的数学概念中比比皆是，比如上文提到的线段上有无穷个点的说法、连续统假设和微积分中的无穷小量概念等等。但“无穷”在物理世界中真的会以某种方式存在吗？空间果真像某些宇宙膨胀模型所声称的那样无穷无尽吗？又或者，空间在最低层面是被某种形式地“像素化”的？

     有一本名为《这个观点必须死》的书十分有趣，许多知名的思想家在其中批判了他们认为不正确的科学观点。比如来自麻省理工大学的物理学家马克思·泰格马克就在书中说，现在是时候把无穷理论踢出物理学了。他写道，虽然“大多数物理学家和数学家都过于钟情无穷理论，以至于他们几乎从未对其有所质疑”，但无穷其实只是一个“我们还没找到其他替代用语时一个方便至极的约略说法”罢了。

     我们并不需要回去查验物理学的基础，并找到可以给出定性答案的无穷假设(这些答案在实际中并不那么站得住脚)。很多时候，只要数量够大或够小，我们就能得出更好、或者至少是更有用的答案。下面有三个难题就能说明这一点。

     1一个有限但非常大的数字是否可以替代无穷？

     第一个问题只是热热身，来看一下我们如何用有穷思维替代无穷思维。这个问题就是德国数学家大卫·希尔伯特1924年提出的希尔伯特旅馆悖论。

     假设有一个旅馆，其房间数量有限，且均已客满，那么它是否可以在不增加任何一个房间中房客数量的前提下，再容纳1000名新房客？如果房间数量有限，那答案就是否定的。因为根据常识性的鸽巢原理，如果一个巢穴只能容纳一只鸽子，那么n个巢穴绝不可能容纳n+1只鸽子。但如果旅馆房间数量无穷，那事情就好办了：我们只需将房客从其所在的n号房间转移至n+1,000号房间，就能空出1-1000号房间给新房客啦!

     看到无穷理念在这儿耍的花招了吧？但凡旅馆的房间数量有限，无论这个数量多大，上述乾坤大挪移的方法都不会奏效。我们现在来假设，浩瀚宇宙可以容纳多少房间，题中旅馆的房间数量就有多大，但它必须是有限大，而非无穷大。这时旅馆问题的答案仍然是肯定的吗？

     事实上，在一个房间有限但已客满的旅馆中再塞1,000个新房客并不是什么难事儿，而且所需的时间也比把房客腾转挪移要少。我们只需作一个合理的假设，假设一定时间里一名已入住房客会以一个极小但非零的概率退房即可。保守起见，我们假设某一天一名房客退房的概率为百分之一，我想你应该可以推想旅馆如何为新增客人提供住宿吧？

     2如果存在最小可测长度会如何？

     三角形的任意两边之和大于第三边，这是众所周知的平面几何定理。但如果可测量长度存在物理限制，比如说这限制相当于1.6x10^{如果说普朗克长度小得过于骇人听闻，我们用一个稍微长一点长度的来举例。假设根据物理定律，任何小于0.001微米的长度都无法测量。那么你可以在平面上画出一个三边长度分别为100、200和300微米的三角形吗？你会设想，这样一个三角形一定扁得不可思议，但无论如何，它会有一个可测的面积吗？再进一步，你能画出一个两边之和等于第三边的三角形吗？仔细想想，答案可能会出乎你的意料。

     3现实世界中的几何焦点有多“锐”？

     我们再来以椭圆形桌球台举个例子。椭圆是有两个焦点的几何图形。任何一条从其中一个焦点出发的直线，经椭圆的圆周反射后，均会通过另一个焦点。假设你有一个桌球台，在两个焦点处各有一个球袋。如果你把球放在一个焦点上，那从理论上来讲，无论你从哪个方向击球，球最终都会落入另一焦点处的球袋，对吧？



     数学上的焦点只有位置没有大小，但现实中的桌球是有一个有限的大小的。那么桌球有限的大小会如何影响其在被撞击时是否会落入另一焦点处的球袋呢？考虑到这一点，加之现实中也并不存在完美的球员，你还会认为，只要桌球最初位于一个焦点，击球后它一定会次次落入预想位置吗？如果椭圆桌球台的长轴长2米，短轴长1米，那么要确保桌球撞壁后落入焦点处球袋，最佳击球位置在哪里呢？假设桌球和球袋都缩至物理可能范围内的最小，球袋的直径保持在桌球直径的1.5倍不变，你的结论会有所改变吗？

     是不是很有意思？希望通过这些问题，可以让你对数学中的无穷和实际生活中的无穷有一个全新的认识。

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