无穷竟然可以比较大小？他打开了第三次数学危机的魔盒
2018/9/11 17:00:00 中国科普博览
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一个云的集合。图片来源：Paixin.com
人们很早以前就明白：如果把一堆具有某种特定性质的元素放在一起，就能组成一个集合。研究集合的理论在数学上被称为集合论。它是众多数学理论的分支之一。然而，它在数学中却具有最为特殊的地位，它的基本概念已经渗透到几乎所有的数学领域之中。
经过两千多年的发展，数学已经构建出一座无比富丽堂皇的宏伟大厦。集合论，却始终是这座大厦最底层的根基。如果集合论出现了裂痕，整个数学大厦都可能摇摇欲坠。令人唏嘘的是，第三次数学危机就发生在数学的基石之上。一个关于集合的悖论很快以摧枯拉朽之势席卷了数学界，不仅让集合论风雨飘摇，更是差点将现代数学毁于一旦。
两千多年以来，数学家研究的实体都是基于有限的集合，没有人试图踏入无穷的世界。“无穷”的概念显然超越了所有人的认知，它让一切敢于接近的人都胆战心惊。
17世纪的数学终于迎来了新生。牛顿和莱布尼茨独自发明了微积分，却引发了数学的第二次危机。微积分计算的严格性常常被人诟病，迫切地需要数学理论的澄清。到了19世纪，由于分析的严格化和函数论的发展，数学家们对无理数理论、不连续函数理论的研究更是需要理解无穷集合的性质。了解“无穷”并深入“无穷”成了迫在眉睫的需求。
时代呼唤着天才。此时，德国数学家康托则独自扛起了挑战无穷的大旗。他以一己之力创造了集合论和超穷数理论，打开了被上帝尘封的智慧大门。数千年以来，无数科学家只能在大门外远远地徘徊，对大门充满了敬畏之心。唯有康托径自一人，孤独地行走在惊心动魄的探险之路上，试图找到开启大门的钥匙。他以卓绝的智慧成就完成了这一宏图伟业，让人们得以一窥连接着无穷世界的大门内无比辉煌的宝藏。为了把握和认知无穷的集合，康托创造性地将一一对应和对角线方法运用到集合论的奠基性研究当中。正是因为康托的努力，数学中无限的面纱终于被揭开，围绕着无穷的迷雾终于得以散去。他对无穷的新见解让人们对无穷的认识上升到了一个前所未有的层次。
奥尔格·康托(Cantor，Georg Ferdinand Ludwig Philipp，1845.3.3-1918.1.6)德国数学家，集合论的创始人。(图片来源：百度百科)
第二次数学危机因为康托的工作而终于尘埃落定。自康托起，集合论成为数学里最基础和重要的理论分支之一。
意想不到的是，表面上看起来，康托的集合论为数学建立了牢不可破的公理体系大厦。当这座大厦快要完工的时候，事情再次出现了转折。第三次数学危机不期而至。
英国数学家罗素彻底粉碎了数学家的梦想。1902年，他在康托的一般集合理论的边缘发现了一个关于集合论的悖论。罗素悖论有多个通俗版本，其中最著名的是罗素在1919年提出的理发师悖论：“村子里有一个理发师，他给自己定了一条规矩：‘他给所有那些不给自己理发的人理发，并且只给这样的人理发’。那么，这个理发师该不该给自己理发？”。不管如何回答这个问题，都会导致自相矛盾。这个问题本身似乎就具有不可调和的矛盾。正是因为这种奇怪的逻辑，罗素颠覆了整个数学大厦的基础。一时间，绝对严密、天衣无缝的数学出现了似乎无法修补的漏洞。一如当年非欧几何的惊人发现一样，延续两千多年的欧几里得公理都可能在一夜之间被颠覆，人们再次陷入了极大的恐慌之中。
伯特兰·阿瑟·威廉·罗素(Bertrand Arthur William Russell，1872年—1970年)
此后，数学家们就开始积极寻找解决这场危机的办法。数学是最为严格的科学，然而集合论中居然存在着这样明显而根本的矛盾。人们开始通过细心地选择数学公理来避免产生罗素悖论的思维怪物，从而重新构建精确唯美的数学体系。德国数学家策梅洛(Zermelo)率先提出七条公理，建立了一种没有悖论的集合论。另一位德国数学家弗伦克尔(Fraenkel)在策梅洛的基础上进行改进，最终形成了一个无矛盾的集合论公理系统(即所谓ZF公理系统)。通过这七条公理建立起来的集合论终于成功地避开了罗素悖论，从而极大地缓解了第三次数学危机。
策梅洛(Zermelo, Ernst Friedrich Ferdinand，1871～1953)德国数学家。(图片来源：百度图片)
1917年，希尔伯特提出来一整套数学纲领。他希望找到一套公理体系能够排除悖论，并且能够证明，在任一个无矛盾的形式系统中所能表达的所有陈述都要么能够证明要么能够证伪。在这个系统里不会再出现类似罗素悖论这样的思维怪圈。
戴维·希尔伯特， D.(David Hilbert，1862～1943)，德国著名数学家。(图片来源：百度图片)
然而希尔伯特的宏伟计划很快被颠覆。1931年，奥地利裔数学家哥德尔指出：在任何一个相容的形式化数学理论中,只要它可以在其中定义自然数的概念,就可以在其中找出一个命题，在该系统中既不能证明它为真，也不能证明它为假。通俗地说，就是任何一个数学的公理化体系都不是“完美的”。任何数学公理化系统都需要人为地从外界注入新的公理进去才能让它日趋完善，而它自己并不能完全自动避免矛盾产生。哥德尔证明不完备定理的主要思想以及罗素悖论的方法和康托的对角线法则是一脉相承的。
库尔特·哥德尔(Kurt G?del)(1906年4月28日—1978年1月14日)
尽管集合论中存在矛盾，但这些矛盾大部分均可回避。然而哥德尔不完备定理则表明：数学的真理性不是绝对可证的，如果我们要证明数学理论的相容性或完备性，必须要依靠该数学理论以外的论据，也就是说我们需要更大的系统来说明理论本身是真的。尽管悖论可以消除，矛盾可以解决，数学的确定性却在一步一步地丧失。第三次数学危机则伴随着这种不确定性，以更深刻的形式延续至今。
图片来源：百度图片
无穷的世界，一直被视为上帝尘封的大门。康托则打开了潘多拉的盒子，他也为此付出了极其惨重的代价。他的成果遭到同时代数学大师无情地嘲讽。以康托的导师克罗内克为首的数学家组成反康托的联盟，对他进行科学和精神上的双重羞辱。备受打击的康托终于精神崩溃，一度患精神分裂症，最终于1918在德国一家精神病院郁郁而终。
让康托意想不到的是，他所创立的无穷集合论成了第三次数学危机的导火索，也从根本上改造了数学的结构，促进了数学许多新的分支的建立和发展，成为实变函数论、代数拓扑、群论和泛函分析等理论的基础，还给逻辑学和哲学也带来了深远的影响。他在研究无穷集合时所发明的对角线方法，则为后世科学家提供了极为本质的灵感源泉。20世纪无数重大的理论成果都受益于此，数学和哲学也因此而焕然一新，比如图灵停机问题、哥德尔不完备定理都是该方法的不同延伸。在这些思想成果的汇聚下，最终造就了今日的信息文明，特别是计算机的发明。
时至今日，我们已经知道，数学的王国里有无穷无尽的宝藏和果实可供后世的勇士去挖掘和摘取。完美的数学并不存在，人们不必为它的瑕疵而伤心，反而应该为它无限的可能性而欢欣。历史的车轮总能一直向前，数学的未来也一片光明。同时，世界上还有很多永远不能被数学解决的问题，这样的问题甚至比能被数学解决的问题要多得多。世界，在最理性的层面，展示出它迷人而无穷的魅力。人们终将认识到自身的渺小，认识到真理星空的浩瀚，从而永远保持谦卑和谨慎。
图片来源：NASA
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出品：科普中国
制作：中国科学院数学与系统科学研究院 黄逸文
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