《生活大爆炸》将完结，但谢尔顿猜想却被证明出来了
2019/5/17 17:06:58环球科学 中国科普博览

    

     谢尔顿身穿印有“73”的上衣

     史上收视率最高的美剧《生活大爆炸》终于要在连续播出12年后落下帷幕。正在这个感伤的告别时节，《美国数学月刊》发表了一篇有趣的论文，题目是《谢尔顿猜想的证明》。

     在《生活大爆炸》中，理论物理学家谢尔顿对73这个素数情有独钟，谢尔顿认为这个素数是最优美的(the best)。他穿的衣服上就印有73这个数字。

     73到底有什么特别之处，能让挑剔而奇葩的谢尔顿为之痴迷？

     为什么是73？

     我们知道，这个世界上的复杂事物可以通过排序变得简单而清晰，比如学生在学校里有学号，员工在公司里有员工号，在快餐店等餐也有排队序号。素数也一样，早就两千多年前，欧几里得就证明了素数有无穷多个。我们可以引入一组“索引序号”，将素数从小到大排列。例如，连续的素数2、3、5、7……被编入索引序号1、2、3、4……

     按照序号排列，73是第21个素数。

     按照数学家的标准写法，可以写成P(21) = 73。

     在这种写法中，P(n)是一个数论函数(所谓数论函数，是说这个函数的自变量是正整数)，P表示素数(Prime number)，n的取值范围覆盖全部连续的正整数。

     依照这种写法，我们可以发现，第12个素数是37。也就是说P(12) = 37。

     在《生活大爆炸》中，谢尔顿注意到一个很有趣的事实，那就是对73与37这两个素数来说，它们正好存在有趣的对称性：P(21) = 73，而如果我们把素数73倒过来写成37、把序数21倒过来写成12，这时P(12) = 37同样成立。

     谢尔顿喜欢73这个素数，一个重要原因就在于这背后的镜像对称性。

     73与37的区别：积性

     看到这里，你可能会问：从镜像对称性上来说，73和37的地位是平等的，没有谁高谁低。既然如此，为什么谢尔顿会觉得73比37更具有科学美感呢？

     在剧中，谢尔顿没有给出进一步的解释，但现实世界中的数学家却“替”谢尔顿研究起这个问题。

     莫宁赛德学院数学副教授克里斯·斯派斯(Chris Spice)与两位数学系学生注意到，73不但具有镜像对称性，它还具有另外一个性质，那就是“积性”(product property)。

     积性的定义很简单。一个素数 p(n)如果是有“积性”的，那么，p(n)中的每一位阿拉伯数字的乘积正好等于n。

     例如：

     P(7) = 17，1×7 = 7

     P(21) = 73，7×3 = 21

     P(181440) = 2475989，

     2×4×7×5×9×8×9 = 181440

     我们注意到，谢尔顿最喜欢的73是一个具有积性的素数。但是，对于37来说，它虽然有镜像对称性，但却没有积性：3×7 = 21，与序号12不符。

     这就是37不如73优美的原因。

     当然，这些数学家不会满足于此。在此基础上，他们在2015年的一篇论文中正式提出了谢尔顿猜想：除了73这个素数同时存在镜像对称性与积性，不存在其他素数同时具备这两种性质。

    

     满足该条件的素数，也被称作谢尔顿素数。也就是说，论文作者认为，73是唯一的谢尔顿素数。

     证明谢尔顿猜想

     谢尔顿猜想的提出看似有点搞笑，因为这就好像说《射雕英雄传》里的黄蓉证明了n阶幻方的存在性定理(具体参看黄蓉与瑛姑的对话那一部分内容)。

     但是，不可否认的是，虽然剧中的谢尔顿声称73是“最优美的素数”(the best)，但谢尔顿并没有说73是“独一无二”(unique)的。(因为这部剧的科学编剧也不知道73到底是不是唯一的谢尔顿素数。)

     直到今年2月，情况终于变了。斯派斯与达特茅斯大学数学教授卡尔·波默朗斯(Carl Pomerance)在《美国数学月刊》上刊发论文，证明了谢尔顿猜想。

    

     两位数学家要解决的问题是，73到底是不是唯一的谢尔顿素数(同时具有镜像对称性与积性)。

     由于理论上有无穷多的素数，所以如何缩小搜索的范围，变得十分重要。

     在论文中，作者宣称，具有积性的素数，只有上文提到的三个。但要证明这一点，就需要一些数论知识了。其中最重要的是素数定理，因为有了素数定理，就可以知道我们能知道第n个素数大概等于多少。

     有了素数定理，根据积性的定义，可以得到一个重要的结论：如果一个素数非常大，那么它肯定不具有积性。从严格的数学推导可以估算出，当素数的位数超过46位的时候，这个素数肯定不可能具有积性。

     所以，以10的46次方作为分界线，素数被分为两部分：大于1046的素数，肯定没有积性，因此证明谢尔顿猜想时可以忽略这部分；而小于1046的素数是可以具有积性的，它们才是我们应该关心的。

     由此，论文作者的搜索范围得到了限制。这个事情比张益唐当年对孪生素数猜想的论证过程要简单得多，因为张益唐要面对的是无穷多个素数，不断缩小范围，最后逼到一个极限。而波默朗斯与斯派斯只需要面对小于10⁴⁶的那些小素数。

    

     卡尔·波默朗斯在解释对谢尔顿猜想的证明。(图片来源：Eli Burakian)

     这两位教授的论文一共有11页。他们在论文中部分依靠数学技巧，部分依靠计算机编程，最后检索完毕，证明了73确实是唯一的谢尔顿素数。

     当《生活大爆炸》的科学顾问、加州大学洛杉矶分校物理教授戴维·萨尔茨伯格听说了“谢尔顿猜想”被证明后，他联系上了作者，询问是否可以在接下来的《生活大爆炸》中使用这一结论。也许，在最后一季的最后一集中，我们可以听到谢尔顿亲口说出：“谢尔顿猜想被证明了”!

     原始论文：

     Proof of Sheldon Conjecture

     The Sheldon Conjecture

     来源：环球科学

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