面积+求导=？| 科学史小画
2022/5/20 17:00:00 中科院之声

     编者按：中科院之声不定期手绘一张“科学史小画”，为大家介绍一段科学史和其背后的故事。

    

     提到微积分，这可能是现在许多人的“阴影”。微积分作为一门学科，诞生于17世纪，但是相关的数学思想在古代就已经产生。任何一门新的学科诞生之初，并不是那么容易。那么“微积分”到底经历了怎样一个艰辛曲折的过程呢？

     我们从小就开始学习各种求面积的公式，长方形、三角形、圆形等等，“求阴影部分的面积”和求自身“心理阴影”是多少，不知哪个更让我们难以计算。好像每学一种新图形就有一个新的面积公式，那么这世界上有许多奇奇怪怪的图形根本没有面积公式，这些面积要如何计算呢？我们讨论的这些求面积的问题，就是微积分里的这个“积”字。我们可以把微积分拆成“微分”和“积分”，积分这个词就是用来表示“由无数个无穷小的面积组成的面积”。

     我们再来看微积分里的另一半：微分。微分学的基本概念是导数。爬山的时候，山越陡越难爬；骑车的时候，坡度越大越难骑。那么，我们如何去衡量这个倾斜程度呢？这就是微分学的求导数运算。这是一套关于变化率的理论，它使得函数、速度、加速度和曲线的斜率等均可用一套通用的符号进行计算。

     公元前7世纪，古希腊科学家、哲学家泰勒斯对球的面积、体积、长度等问题的研究就含有微积分思想。公元前3世纪，古希腊数学家、力学家阿基米德的著作也已含有“积分学”思想的萌芽。中国古代数学家刘徽发明的“割圆术”，也是“积分学”思想的早期萌芽。

     随着人类历史和数学的漫长发展，积累了许多需要解决的实际问题，作为一种有力的数学工具，“微积分”呼之欲出。数学首先从对“运动”的研究中引出了一个基本概念——函数。这为微积分的产生奠定了基础。

     “微积分”的诞生是在有着丰富的前人成果上，如：费马、笛卡尔、开普勒、卡瓦列利等人的研究，再最终做了总结性概括。十七世纪下半叶，英国科学家牛顿和德国数学家莱布尼茨就是在前人研究的基础上，分别独自研究、完成了微积分的创立工作。他们在微积分上的最大成就是把切线问题和求积问题联系在一起。牛顿研究微积分着重于从“运动学”来考虑，莱布尼茨却是侧重于从“几何学”来考虑的。

     牛顿在1665年5月20日的一份手稿里第一次提出“流数术”，即微积分。他引用了一种带双点的字母，它相当于导数的齐次形式。1666年10月，牛顿将研究成果整理成一篇总结性论文《流数简论》；1671年，他在这篇短论的基础上完成了《流数术和无穷级数》一书，这本书直到1736年才出版。莱布尼茨在1684年发表了现在世界上认为是最早的微积分文献，它已含有现代的微分符号和基本微分法则。他所创设的微积分符号，优于牛顿的符号。现今我们使用的微积分通用符号就是当时莱布尼茨创造的。

     微积分诞生之后，为人类近代科技带来了前所未有的推动作用。

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