一个神奇的时间常数，它无处不在
2020/5/17 22:15:57 生物流BioStream

     当我们描述一种指数变化的时间过程时，常常需要用到一个参数：时间常数Tau(time constant)。时间常数用希腊字母“τ”表示，读作拼音“tao”。

     无处不在的时间常数

     一个例子：

     假设你一天持续工作8小时，从早上9点到下午5点。你刚开始很懒，随着时间的变化，你越来越活跃，最后工作效率达到稳定。如果经过2小时(早上11点)你达到稳定的工作效率，那么，在数学上，你工作的时间常数是1.26个小时。这里把进入工作状态理想化为指数增长的过程。如果有人工作的时间常数更短(比如1小时)，说明进入状态更快，也就是说，他工作更加活跃；反之，如果他的时间常数更长，说明进入状态更慢，他工作更加迟钝。

    

     另一个例子：

     长时间使用的手机是热的，关机后它会慢慢散热。如果经过1小时手机温度稳定(接近室温)，那么，在数学上，手机散热的时间常数是0.63小时。如果时间常数更短，则手机散热更快；反之，如果时间常数更长，则手机散热更慢。

    

     在上述两个例子中，时间常数用来表示变化过程。真正决定变化速度的，是过程本身固有的因素(比如人的精力，手机的物理特性等)。

     时间常数Tau作为一个参数，可以反映变化过程的速度，如日常生活中电器的温度、电路中的电子信号、化学反应时间的变化、放射性元素的衰变，经济发展的迅猛与疲软等。

     在指数上升过程中，Tau值即增大到最大值的1-1/e(约63%)所需的时间。在指数衰减过程中，Tau值即衰减到最大值的1/e(约37%)所需的时间。

     时间常数的计算

     Tau是从自然常数e计算而来的。

     e≈2.718，所以1/e≈1÷2.718，计算可以发现：1/e≈0.368=36.8%；1-1/e≈63.2%。

     那么，何为自然常数e呢？

     e是自然常数

     e是一个无理数。

     什么是无理数？

     无理数，即无限不循环小数。比如，大家熟知的圆周率π就是无理数，根号二√2也是一个无理数。

     我们知道，π等于圆的周长与直径之比，约等于3.1415926...。

    

     √2可以表示等腰直角三角形的斜边长度，约等于1.41421356237...。

    

     那么，如何理解e这个无理数呢？

     自然常数e，也叫自然对数函数的底数，约等于2.71828182845904523536...。

     它可以定义为极限值：

    

     首先，我们看一个例子：

     假设银行的利率是100%，我们存1元钱到银行，年底得到2块钱。假设利率不变，但是半年结算一次，我们前半年得到利息1*100%*0.5=0.5元，并重新存到银行，后半年得到1.5*100%*0.5=0.75元。年底共得到1+0.5+0.75=2.25元。假设一个季度结算一次，我们重新存到银行，年底会得到2.37元。假设银行的返息是每天呢？甚至每分钟呢？用极限的思维，如果银行的返息是每时每刻发生的，最终，我们年底得到的钱为自然常数e，为2.71828182845904523536...元。

    

     在上述例子中，如果把一年的时间分成n等份，n趋于无限大(或者把结算时间看做t，t趋于无限小)，那么，年底获得的钱是自然常数e。

     假设上面定义式中的n(或t)为整数数值，用二项式推导的方法，可以计算e的值。

    

     在y=e^x函数中，当x值逐渐增大，得到的y值也随之增大。

    

     在极坐标中，任意一点可以用极径(该点到极点的距离)和极角(该点到极轴夹角)来表示。

    

     将y=e^x函数转换到极坐标中，随着x值逐渐增大，y值(用极径和极角表示)也不断增大，会得到一条自然渐变的弧线。因此，在极坐标中，y=e^x的函数可以表示为“对数螺旋线”的形式。

    

     这种螺旋线在自然界中广泛存在，如花瓣的弧形、宇宙星系、海中的漩涡、蜗牛的螺旋壳等。

    

     自然常数e，可以理解为自然界中本身就存在的一个数，它代表自然界通过极限增长的方式对万物进行的创造。数学家发现了它，“自然常数”这个名字也代表了人类对自然界的赞赏。

     而时间常数Tau指的是，变化过程中达到最大变化量的1-1/e所需的时间。

     电路中的时间常数

     在电路中，时间常数Tau也是一个常用的概念。最简单的RC电路(Resistance-Capacitance circuit)包括一个电阻和一个电容器，叫做电阻-电容电路。根据电阻和电容连接的方式，可以分为串联RC电路和并联RC电路。

     以串联RC电路为例，当电路开放时，电流I流入电路，在电容两侧聚集正负电荷，随着聚集电荷的增多，电容充电过程完成，达到稳定状态。当电路断开时，聚集在电容两侧的电荷减少，最终电容放电完成，达到稳定状态。

    

     电阻两侧的电压Vr随时间的变化可以表示为：

    

     在电路打开的过程中，电容开始充电，随着充电的完成，电荷聚集到电容两侧，电阻两侧的电压逐渐减小。

    

     电容两侧的电压Vc随时间的变化：

    

     在电路打开的过程中，电容开始充电，随着充电的完成，电荷聚集到电容两侧，电容两侧的电压逐渐增大。

    

     在RC电路中，时间常数Tau是电阻和电容的乘积。

     无论是Vr的指数衰减曲线还是Vc的指数上升曲线，时间常数Tau都表示，发生的变化占最大值的63.2%所需的时间。半衰期一般指衰减到50%所需的时间。因此，时间常数63.2%比半衰期50%要更长。

     除时间常数Tau以外，2τ，3τ，4τ也可以作为曲线的参数。我们可以发现，当经过的时间是4倍的Tau值时，变化已经是98.2%，非常接近100%。

     大脑中的时间常数

     细胞膜是镶嵌着蛋白质的磷脂双分子层。在可兴奋细胞如神经元中，细胞膜内外分布着离子。磷脂双分子层疏水绝缘，可以等效成电容板，离子无法通过，正负离子聚集在其两侧。离子通道能够通透正负离子，可以等效成电阻。

    

     因此，细胞膜可以看做电容和电阻并联的等效电路。霍奇金和赫胥黎发现的经典动作电位模型就是建立在并联RC电路基础之上。

    

     当我们给予细胞方波电流刺激时，由于膜电容的存在，电压的变化并不是立刻与电流的变化一致的，而是有一个滞后的过程。这个过程，即电容的充放电过程。给予刺激时，电压值增加，对应电容的充电过程；撤掉刺激时，电压值下降，对应电容的放电过程。

    

     通过记录神经元的反应，并对反应进行指数拟合，可以得到特定神经元的时间常数Tau值。时间常数是研究神经元基本膜性质(如膜电阻、膜电容等)的重要参数。

     总结

     时间常数Tau作为一个表示时间过程的参数，在电路、工程、经济学、化学、生物等学科中均有广泛的应用。时间常数的概念可以帮助我们以定量的思维，理解工作和生活中的各个方面。从一个神奇的、无处不在的时间常数开始，也许，我们可以进一步理解这个神奇的世界。

     (生物流系头条号签约作者)

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