数学与系统科学研究院2017年重要科研进展（3） ---岩泽理论和BSD猜想
2018/3/15 中国科学院数学与系统科学研究院

     BSD猜想是克莱数学研究所悬赏100万美元求解的七大千禧年数学难题之一。简言之，它是研究定义在有理数域上的椭圆曲线的有理点的集合，与它的解析L函数之间的一种深刻联系的问题。所谓椭圆曲线即是由方程“Y^2=ax^3+bx^2+cx+d”定义的三次光滑射影曲线，称之为E。E的有理点集 E(Q) 即是上述方程的有理解构成的集合。因此研究E(Q) 即是研究上述三次不定方程的有理解。这个解集有一个阿贝尔群的结构，称为莫德尔-韦伊群。另一方面，由这个椭圆曲线的局部性质出发，可以定义一个解析L函数，记为L(E,s) 。根据著名的谷山-志村猜想，这是关于s在整个复平面C上的全纯函数。BSD猜想即是研究莫德尔-韦伊群E(Q) 的代数结构与解析函数L (E, s) 之间的关系。具体来说，猜想分为两部分: (1) (秩部分) E (Q) 的秩等于L (E，s) 在s=1处的阶r。(2)(完整BSD公式)L(E，s) 在s=1处的首项非零泰勒展开系数等于关于E的一个算术表达式。

     BSD猜想的提出源于对于E的有理解和在各个有限域上解的个数的预期估计，然而它的证明极其困难。目前，人们对其所知的大多局限于r为0或者1的情形。事实上，Katz-Sarnak猜想100%概率的椭圆曲线E的L-函数阶r都是0或者1 (注意只是概率意义下。依然有大量的椭圆曲线的r是大于1的) 。当r=2或3时候，人们只能对有限个具体的E通过计算验证猜想的秩部分。当r>3时，甚至没有一种办法可以确定任何一个相应椭圆曲线的阶r到底是多少。这些情形的BSD猜想似乎需要全新的想法才能有所进展。另一方面，对于特定的椭圆曲线的E(Q) 的秩，人们可以用计算机来进行计算。目前人们已经找到一个椭圆曲线，它的E(Q) 的秩至少是28 。

     对于完整BSD公式的研究，近年来也有非常大的进展。一个有用的观察是：为了证明两个正有理数相等，只需要证明对任意的素数p，等式两边的p部分因子相等即可。因此问题可以化归为证明两边的p部分相等。所以人们可以引入p进的方法来研究。其中一种重要的研究手段称为“岩泽理论”。接下来把椭圆曲线分为带复乘和不带复乘的两种情形。1.复乘情形：此时研究对象对应于虚二次域的特征，因此拥有更丰富的研究工具。当p为奇素数时， Rubin通过欧拉系的工具证明了岩泽理论的主猜想，从而推出了BSD猜想的p部分。因此问题只剩下验证BSD公式的2-部分。1997年前后，北京大学的赵春来教授对一类特定的r为0的复乘椭圆曲线证明了公式的2部分，从而确立了这些椭圆曲线的完整BSD公式。对r为1的情形，中科院数学与系统科学研究院的田野研究员在2014年对于一族椭圆曲线(称为同余数椭圆曲线)的研究取得了突破，并同刘余-李永雄一同证明了相应BSD公式的2-部分。2.非复乘情形：此时的问题更加困难一些，除欧拉系外，还需要用到自守形式和朗兰兹纲领的结果。当p为奇素数时，人们仍然可以通过研究岩泽理论来证明相应的BSD猜想。此时，对于相当广泛的椭圆曲线，Kato，Skinner-Urban, 张伟，Jetchev，以及万昕等已经能够证明BSD猜想的p-部分。当p=2时，自守形式的方法依然面临很大的困难。幸运的是，对于2这个特殊的素数，存在一些其他的特殊方法。 剑桥大学的Coates教授指出了一条可行的道路用于证明公式的2-部分(对于复乘和非复乘的情形)，利用田野研究员之前发展的方法，以及modular symbol的工具。这一项目目前已经由蔡立-李超-翟帅等人部分执行出来。目前，在中科院数学与系统科学研究院万昕博士的一项研究中，引用他们的结果，可以证明对于很多无穷族的非复乘椭圆曲线，完整BSD公式成立。在此之前，人们只能通过数值验证的办法证明有限个非复乘椭圆曲线的完整BSD公式。这种突破性的更强有力的方法得到了椭圆曲线和模形式在非正规素数处这种更为困难情形的算术上的突破。

     来源：中国科学院数学与系统科学研究院

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