数学与系统科学研究院2017年重要科研进展（5）--- 超Ricci流上的W-熵公式与Harnack不等式
2018/3/29 中国科学院数学与系统科学研究院
2002年G. Perelman首次对Ricci流引进了W-熵、证明了W-熵的单调性，并利用W-熵的平衡态刻画了收缩Ricci孤立子。作为其应用，Perelman证明了关于Ricci流的非坍塌定理。这一结果为Poincare猜想和几何化猜想的最后解决扫清了障碍。然而，Perelman 对Ricci流所引进的W-熵，不仅形式上十分复杂，而且具有某种神秘色彩。
2012年，中科院数学与系统科学研究院李向东研究员首次对 Perelman 关于 Ricci流所引进的W-熵给出了清晰的概率解释，研究了赋予加权测度的完备黎曼流形上Witten Laplace算子的热方程的W-熵，证明了在 CD(0, m)条件下W-熵的变分公式、单调性和刚性定理。
2015年以来，李向东研究员与李宋子博士合作，在赋予时变黎曼度量和位势函数的流形上引进了(K, m)-超Ricci流的概念，对赋予(K, m)-超Ricci流的流形上的时变Witten Laplace算子的热方程的基本解引进了W-熵、证明了W-熵的变分公式及单调性。同时，他们还利用W-熵的平衡态刻画了(K, m)-Ricci孤立子和(K, m)-Ricci曲率流。这一工作是对Perelman关于Ricci曲率流W-熵的研究成果的非平凡推广和进一步深入。
他们发现：Perelman对于Ricci曲率流所引进的W-熵在形式上虽然非常复杂，但本质上与统计力学和概率论中所研究的Boltzmann熵及几何分析中Li-Yau型及Hamilton型 Differential Harnack不等式有着密切而本质的联系。这一发现从随机分析、几何分析和统计力学角度揭开了W-熵的神秘面纱，为进一步深入研究提供了重要的基础。
在加权完备黎曼流形和赋予(K, m)-超Ricci流的紧致及完备黎曼流形上，他们对Witten Laplace算子的热方程证明了Li-Yau型和Hamilton型的Differential Harnack不等式。他们还证明了关于Witten Laplace算子的热方程基本解的对数梯度估计。这些结果对于几何分析及流形上的随机分析的进一步深入研究具有重要价值。
代表论文：
1、X.-D. Li, Perelman’s entropy formula for the Witten Laplacian on Riemannian manifolds via Bakry- Emery Ricci curvature, Math. Ann. (2012) 353, 403-437
2、S. Li, X.-D. Li, W-entropy formula for the Witten Laplacian on manifolds with time dependent metrics and potentials, Pacific J. Math. 278 (2015), no.1, 173-199.
3、X.-D. Li, Hamilton's Harnack inequality and the W-entropy formula on complete Riemannian manifolds, Stochastic Processes and Appl. 126 (2016), no.4, 1264-1283.
4、S. Li, X.-D. Li, Hamilton differential Harnack inequality and W-entropy for Witten Laplacian on Riemannian manifolds, J. Funct. Anal (2017). https://doi.org/10.1016/j.jfa. 2017.09.017
5、S. Li, X.-D. Li, On Harnack inequalities for Witten Laplacian on Riemannian manifolds with super Ricci flows, accepted for publication in Special Issue in honor of Prof. N. Mok’s 60th birthday, Asian J. Math. 2017.
6、S. Li, X.-D. Li, W-entropy formulas on super Ricci flows and Langevin deformation on Wasserstein space over Riemannian manifolds，to appear in Science China Math. 2018 https://doi.org/10.1007/s11425-017-9227-7
来源：中国科学院数学与系统科学研究院
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