数学与系统科学研究院2017年重要科研进展（8）--- 关于若干可压缩流体方程的研究
2018/4/19 16:00:51 中国科学院数学与系统科学研究院

     可压缩Navier-Stokes方程和Boltzmann方程解的适定性和渐近行为的研究一直以来都是非线性偏微分方程中的重要研究课题。最近，中科院数学与系统科学研究院王勇助理研究员和黄飞敏研究员等人在这方面取得了如下成果：第一，在一维可压缩Navier-Stokes方程的低马赫数极限过程中发现了新的波现象；对于一般的三维有界光滑区域，证明了可压缩Navier-Stokes方程Navier-slip-Neumann边值问题的解可压缩Euler方程的解的消失耗散极限；第二，发展了一种新的先验估计，对于一类大振幅的初值，证明了Boltzmann方程整体解的存在唯一性及解的正则性。

     1. 可压缩Navier-Stokes方程解的渐近行为的研究

     著名的不可压缩Navier-Stokes方程形式上为可压缩Navier-Stokes方程的低马赫数(Mach number)极限，因此低马赫数极限是非常重要的数学问题。关于低马赫数极限的研究有很多结果，如2006年法国数学家T. Alazard基于声波分析，证明了可压缩Navier- Stokes方程一般初值情形的低马赫数学极限。注意到，之前所有的工作均要求无穷远处的状态是同一个常数。最近他们对于无穷远处状态为两个不同常数时，证明了一维可压缩Navier-Stokes方程的低马赫数极限。特别地，除了上面到的声波，他们发现了新的波现象，即扩散波。该波与著名的热蠕流动(流体从低温部分流向高温部分)紧密相关(见图1)。 实际上，他们构造了极限方程的一个扩散波解，该扩散波解的速度与温度的导数成正比(即热蠕流动)。他们首次从数学上证明非等熵可压Navier-Stokes方程的解的速度与温度的导数成正比，即可压Navier-Stokes方程的解在一定条件下有热蠕流动现象。研究成果发表在Advances in Mathematics., 319 (2017), 348-395。

    

     图1：热蠕流动

     可压缩Euler方程是用来描述理想流体运动的方程。形式上，当粘性系数和热传导系数趋于零时，可压缩Navier-Stokes方程趋近于可压缩Euler方程。从数学上严格证明该极限是一个非常重要的数学问题。特别地，对于初边值问题，可压缩Navier-Stokes方程的解会在边界附近出现急剧的变化，即出现边界层，这就给分析带来很大的困难。通过引入合适的各向异性的解空间和建立速度散度的精细估计，对于一般的有界光滑区域，他们证明了可压 Navier-Stokes 方程的 Navier-slip 类型初边值问题的解到可压 Euler 方程解的流体极限， 并得到了收敛速率，相关结果发表在SIAM J. Math. Anal, 47(2015), no. 6, 4123-4191及 Arch. Rational Mech. Anal., (2016), no.3, 1345-1415。

     2. Boltzmann方程一类大初值解的整体适定性

    

     Boltzmann方程解的整体适定性问题是偏微分方程中的核心问题。对于一般初值，美国数学家R.J. Diperna与法国数学家P.L. Lions (1994年Fields获得者) (Ann. of Math, 1989)通过弱紧性方法首次得到了Boltzmann方程的大初值重整化解的整体存在性。但是该重整化解的唯一性和正则性一直未得到解决，是重要的公开问题。假设解在正则性足够高的Sobolev空间中一致有界，法国数学家L. Desvillettes和C. Villani (2010年Fields奖获得者) (Invent. Math, 2005)证明了解大时间趋近于相应的平衡态。然而证明满足要求的整体解的存在性本身是非常困难的公开问题。另一方面，在扰动框架下有很多关于 Boltzmann 方程整体光滑解的存在性和大时间渐近行为的研究工作，但均要求初值是平衡态附近的“小”扰动。他们从Boltzmann方程的基本性质入手，发展了一种新的先验估计，对于一类大振幅的初值(见图2)，证明了Boltzmann 方程整体解的存在唯一性及解的正则性。这是 Boltzmann 方程第一个具有大震荡初值的整体光滑解。此外，他们还证明了解会大时间趋近于相应的平衡态，并得到了解的大时间渐近行为的收敛速率，论文发表在Arch. Rational Mech. Anal., 225 (2017), no. 1, 375-424。

     来源：中国科学院数学与系统科学研究院

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