数学与系统科学研究院2017年重要科研进展（十）--- 平展上同调及其对指数和的应用
2018/5/3 10:24:56 中国科学院数学与系统科学研究院

     近年来，中科院数学与系统科学研究院郑维喆研究院及其合作者在等变平展上同调和上同调的对称性问题上取得了进展，并解决了Jacobi和的Shparlinski问题。

     第一，关于证明等变上同调代数的有限性定理和结构定理。Quillen在两篇经典论文(Ann. Math. 1971)中研究了李群在拓扑空间上作用的模? 等变上同调(equivariant cohomology)代数，建立了有限性定理和结构定理。这些定理已经成为研究模表示论(modular representation theory) 的重要工具。郑维喆研究员和法国南巴黎大学(Université Paris-Sud) Illusie教授合作，研究了代数群在概形上作用的模?等变平展上同调(equivariant étale cohomology)，并证明了相应的有限性定理和结构定理。与Quillen的结构定理不同，他们的结构定理适用于更广泛的带系数情形。论文发表于Journal of Algebraic Geometry (2016，112页)。

     第二、关于?-进上同调的对称性研究。Deligne 在其著名的Weil II论文中证明了?-进上同调的“困难的Lefschetz定理”(Hard Lefschetz Theorem)，给出射影光滑代数簇?-进上同调上的非退化配对。其推论之一是对代数簇拓扑的非平凡限制，即奇数次Betti数是偶数。这些结论可以视作Hodge理论在正特征域的类比。郑维喆研究员与清华大学孙晟昊合作，系统地研究了域上概形?-进斜截层(perverse sheaves)的对称性，加强了经典的Beilinson-Bernstein-Deligne-Gabber分解定理。他们证明，域上恰当概形的?-进相交上同调(intersection cohomology)，奇数次是辛(symplectic) Galois表示，偶数次是正交(orthogonal) Galois表示；有限生成域上任意有限型概形?-进上同调，奇权重(odd weight)部分由辛Galois表示生成，偶权重(even weight)部分由正交Galois表示生成。论文发表于Algebra & Number Theory (2016，73页)。

     第三、关于在指数和中的应用：解决 Shparlinski 问题。平展上同调和指数和有很深的渊源。Weil 猜想的源头之一就是把有限域上一类超曲面的点数和 Zeta 函数表示成 Jacobi 和。现在，?-进上同调已经广泛应用于指数和的估计和分布问题，Katz 在这一方向做出了众多的贡献。Katz 和郑志勇(1996) 证明了Gauss 和及两元 Jacobi 和的一致分布性质。Shparlinski(2009) 建立了 Gauss 和的部分一致分布，并提出两元 Jacobi 和的部分一致分布问题。部分一致分布是比一致分布更为精细的性质。郑维喆研究员和国科大陆晴、北航郑志勇教授合作，在 Katz 工作的基础上，通过Kloosterman 层分歧的分析和表示论的计算，不仅解决了 Shparlinski 的问题，还建立了多元Jacobi 和的部分一致分布。这些一致分布的结果是对不均匀性(discrepancy) 的上界估计。此外，对于多元 Jacobi ，他们还得到了不均匀性的下界估计，与Katz-Sarnak 的预言相符。论文发表于Journal für die reine und angewandte Mathematik (Crelle’s Journal，2016电子版发表，20页)。

     来源：中国科学院数学与系统科学研究院

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