《超越无穷大》：希尔伯特旅馆实验（2）
2018/6/21 13:44:58 中国科学院数学与系统科学研究院
如果旅馆不止一层呢？
现在让我们假设我们的旅馆有两层，每一层都有无穷多个房间(见图2–5)。 1楼有房间1、2、3、4……，2楼也有房间1、2、3、4……(更常见的编号方式是 1 楼有房间 101、102、103、104……，2 楼有房间 201、202、203、204……，但是现在我们先不考虑这个问题)。
如果这个旅馆起火了呢？现在，我们需要把所有的客人都转移到马路对面的只有一层的希尔伯特旅馆(这个旅馆刚好完全是空的)。 这也不是什么难题。我们可以让原本住在1 楼的客人把自己的房间号乘以二然后减去一，这样这些客人就分别去了1 号房间、3 号房间、 5 号房间、7 号房间……，就像上一个例子中讲的新到的客人一样。 接下来，我们会让原本住在2 楼的客人都把自己原本的房间号乘以二，就像上一个例子里面原本就已经在店里入住了的客人一样。这些客人会住进 2 号房间、 4 号房间、 6 号房间、 8 号房间……(见图 2–6)。
从某种程度上讲，我们已经把“无穷×2”位客人装进了“无穷”个房间里。从数学上看，这和把新到达的无穷个客人安排进已经住满了的无穷多个房间的旅馆是一样的。
这个原则也可以应用到起了火的三层希尔伯特旅馆。唯一的不同就是，这次我们需要把“无穷×3”位客人安排进“无穷”个房间。 所以我们需要把原本的房间号乘以三(见图2–7)。
? 原本住在 1 楼的客人需要把自己的房间号乘以三，然后减去二。那么他们就会住到1 号房间、4 号房间、7 号房间、10 号房间……
? 原本住在 2 楼的客人需要把自己的房间号乘以三，然后减去一。那么他们就会住到2 号房间、5 号房间、8 号房间、11 号房间……
? 原本住在 3 楼的客人需要把自己的房间号乘以三。那么他们就会住到 3 号房间、6 号房间、9 号房间、12 号房间……
你可以想象一下，所有的客人按照他们原本的楼层排成了3 列长队。然后你按照他们排队的次序安排房间，依次安排每个队伍的第一个人入住新房间。这里，你必须注意留好同一层客人入住房间的号码间隔，稍有不慎，你就没有足够的房间安排所有人了。
像前面说的一样，我们可以为此写一个指导手册。正确的写作方式应该是下面这样的：
? 原本住在1 楼的客人：如果你的房间号是n，那么请搬 到 3n – 2 号房间。
? 原本住在2 楼的客人：如果你的房间号是n，那么请搬 到 3n – 1 号房间。
? 原本住在3 楼的客人：如果你的房间号是n，那么请搬到 3n 号房间。
如果我们先安排所有原本住在1 楼的客人的话，我们就会说：
?原本住在1楼的客人：如果你的房间号是n，那么请搬到 n 号房间。
但是这样一来，我们是不是就没有房间安排原本住在 2 楼 和 3 楼的客人了？
是的，已经没有了。因为每一个房间n 都已经被原本住在1楼n号房间的客人占据了。这就是为什么我们要么得按照楼层顺序轮换安排客人，要么得在安排1楼的客人的时候给2楼和3楼的客人预留下房间，而不能先把 1 楼的客人按照原本的房间号安排进旅馆。
我希望你能够按照这个逻辑处理更多楼层的情况(见图 2–8)。
但是如果有无穷层楼呢？现在，我们把希尔伯特旅馆想象成一座摩天大楼，楼层有第1层、第2层、第3层、第4层……，每个楼层都有1号房间、2号房间、3 号房间、4号房间……。我们可以把这个建筑想象成“无穷乘以无穷”(见图 2–9)。
如果这一回是这座摩天大楼起火，我们是不是就无计可施了呢？我们能不能把这栋摩天大楼里的客人转移到只有一层的希尔伯特旅馆呢？也许在现在的情况下，只有一层的希尔伯特旅馆看起来已经成了一个相当普通的概念。当我们一次又一次地锻炼我们的头脑的时候，就会出现这样的情况：原本非常令人诧异的事情变成了普普通通的事情。这标志着我们已经更加聪明了。
回到正题，你可能觉得这次的情况有点儿无望了，因为我们不能让每一个人都“把自己的房间号乘以无穷”，然后再减去点儿什么东西。我们也不能依次安排每一列楼层队列的第一个人了，因为如果我们这样做，就会发生下面的情况：
? 原本住在 1 楼 1 号房间的客人搬到 1 号房间
? 原本住在 2 楼 1 号房间的客人搬到 2 号房间
? 原本住在 3 楼 1 号房间的客人搬到 3 号房间
?……
? 原本住在 n 楼 1 号房间的客人搬到 n 号房间
? ……
把每个楼层1号房间的人安排完之后，一层的希尔伯特旅馆就客满 了。因为每一个n号房间都已经被原本住在n楼1号房间的客人占据了。
然而，我们并非完全没有办法。我们需要变得更聪明一点儿。问题的关键还是让大家排起队来。但是，这次我们让所有的客人按照对 角线的方式排队(见图 2–10)。
如果我们从左下角开始，按照对角线的方式排队，我们还是能够把每一个客人都安排到新的房间。这次的安排方式无法像前几次那样用一个简单的公式总结，我们用一个图形来表示(见图 2–11)。
一个指导每位客人应该去哪个房间的指导手册的文字描述需要像下面这样写：原本住在k楼n房间的客人搬到……房间。你可能可以根据上面的图总结出一个公式来，但是我觉得在这次的情况下，用图来表示会更加清晰一些。
顺带一提，我们关于希尔伯特旅馆的讨论包含了下面这个奇怪的事实：偶数的个数和所有数的个数一样多。因为当你让每一位客人都把自己的房间号乘以2的时候，你就用偶数房间号的房间安排下了所有的客人。而我们将一整层的客人安排到奇数房间号的房间的事实也说明奇数的个数和所有数字的个数一样多。按照这个逻辑，如果我们有无穷多的钱的话，我们能表现得极为博爱——我们可以把无穷多的钱捐给慈善机构而自己仍然剩下无穷多的钱。我们需要做的就是把银行里的每一块钱中的偶数号捐给慈善机构，自己留下奇数号。但是这显然不太现实，因为银行里的钱并没有编号，有的只是一个总数。但是我们可以转一块钱到慈善账户，再转一块钱到自己的个人账户，然后再转一块钱到慈善账户，再转一块钱到自己的个人账户。这做起来有点儿慢。所以你也可以一次转一亿元到慈善账户，再转一亿元到自己的个人账户，以此类推。但是，你需要一直不停地这么做下去。
受到成功完成这个几乎不可能完成的任务的鼓舞，你可能会觉得你现在可以把任何旅馆的全部客人转移到仅有一层无穷多房间的希尔伯特旅馆里了。然而，事实并非如此。如果你有另外一个更加疯狂的旅馆，旅馆的房间编号包括所有的有理数和所有的无理数(“你好，我在π 房间”)，那么我们可能就真的被打败了。所以，事情的关键在于“可数性”。我们接下来就会开始接触这个概念。在第6 章，我们会看到一个令人脑洞大开的事实，即，有一些无穷比另外一些无穷要大。
无穷令人着迷的一点就是你总会在无意间撞见这个概念，而且总会无意间撞见围绕着这个概念发生的神奇的事情，但是要搞清楚这些事情背后的原因则非常困难。我们现在知道，一个有无穷多的房间的旅馆和“常规”的旅馆非常不一样。我们还知道，我们不能像处理“常规”的等式那样处理涉及无穷的等式。看起来，无穷好像不是一个“常规”的数字，那么它到底是什么？数字看起来是数学的基石，但是数字到底是什么？有很多的道理我们认为是理所当然的，但是我们从来没有思考过它们的本质是什么，数字就是其中之一。如果我们想要宣称无穷不是一个数字的话，我们最好先搞清楚数字是什么。你可能会很诧异地发现数学家竟然花了如此长的时间来搞懂数字的本质。人类虽然并不清楚数字是什么，却还是毫无障碍地使用了它上千年的时间，你可能也是如此。有鉴于此，你可能会觉得弄清楚数字的本质是一件毫无意义的事情。那么，难道说数学家在做这件事情的时候是非理性的吗？
事情是这样的。常规的整数是不难理解的。即便你将常规的数字扩展到负数和分数的领域，也不是什么大问题。问题出现在分数与分数之间这个领域，也就是无理数，此时事情就开始变得难以捉摸起来。不明白整数是什么不是什么大问题，但是不明白无理数是什么就成了问题。在移除这个障碍的过程中，微积分出现了，而微积分极大提升了过去两个世纪里科学、医药学和工程学领域的精确度和人们对其的理解。而为了更好地理解这些无理数，我们需要更好地理解所有的数字，包括最基本的数字。我们需要将地基打好，如此才能在其上构建坚固的建筑。如果地基不稳，那么除了回头去重新打好基础之外，我们别无他法。
* 内容节选自《超越无穷大：一次跨越数学边界的冒险之旅》，本书入围英国皇家学会科学图书奖短名单，获得包括《魔鬼数学》作者乔丹?艾伦伯格在内的多位数学界大佬联袂推介。
转自：好玩的数学
中国科学院数学与系统科学研究院
微信号：cas-amss
长按二维码—识别—关注
投稿或法律相关事宜请通过邮件联系我们
邮箱：amss01@amss.ac.cn
http://weixin.100md.com
返回 中国科学院数学与系统科学研究院 返回首页 返回百拇医药