世界名画中的数学：动态
2018/5/2 11:13:48 中科院物理所

     17世纪开始，微积分由牛顿和莱布尼兹发起而诞生，历史上为争论无穷小量的意义而大打出手，那时无穷小量被保守派称为“幽灵”，呼之即来，挥之即去。直到19世纪，在众多数学家的努力下，微积分的理论才趋于完善，人们才有了刻画动态的利器。

     这段时间，为绘画艺术寻找出路的艺术家们也开始在静态的画面上尝试描述动态，静悄悄地开展了一场动态革命。尽管人们尝试刻画动态由来已久，在古埃及的壁画上就可以看出端倪。例如在弘扬法老拉姆西斯II的壁画上，英雄的战马刻成了六条腿，以此表示战马奔腾的状态。然而绝大多数描述动态场合的古典画，无论多壮观，都是凝固了激烈场面的一瞬间，那些人物的姿态和表情都是清晰真切细腻的。

    

     我们来看文艺复兴时期巴洛克美术的代表人物德国画家彼得.保罗.鲁本斯(Peter Paul Rubens，1577—1640)的代表作"强劫留西帕斯的女儿(Rape of the Daughters of Leukippos)"。画的高超技巧和华丽色彩和动作强烈的风格令人印象深刻。希腊神话英雄宙斯的孪生子狄俄斯库里把留西帕斯的两个女儿从梦中劫走，强行上马的情景。两匹马和两对男女的交错动势占据了整个画面，色彩对比鲜明，头、手、脚四射，马仰人翻，很暴力，很热辣，极富运动感。人马的肌肉骨骼所传达的呼声，男人和女人眼睛流露的狂野和恐惧，让人感到惊心动魄，充分表达了文艺复兴时期人体健美、表情传神、动作精准的特点。这种人马姿势在现实中是决不能持续的，所以画家是通过不能静止的动作来暗示动态，然而那个瞬间人马的姿态表情却都非常清晰具体，连头发都不含糊。其实从微积分的思想，如果把运动物体的时间切割的很细，在dt时间段里，这个物体是相对静止的，运动中的时间截面在这无穷小时间段里没有发生变化，这也就是古典画所得到的动态效果。

     然而到了19世纪，艺术家们不满足只刻画dt这个无穷小时间段的一瞬间，而期望让静止的画面动起来。从而对动态的探索更是全方位的，他们的主要成就是：

     利用模糊描述动态

     利用不平衡刻画不稳定的静态

     利用色彩变化留下活动的想象

     利用变形展现变化过程

     用数学的话说，他们放大了无穷小时间到一个差分的微小时间，用 Δt替换了 dt，并在 Δt里研究运动物体的变化状态。当时间稍长一些，运动的影像就会飘逸重叠，从而产生模糊的效果。这里介绍法国印象派画家埃德加.德加(Edgar Degas，1834—1917)的“舞台上的舞女(Dancer on Stage)”。在照相机普及的今天，我们很自然理解这件事，当相机曝光不够短时，留下的运动影像会模糊。但在照相技术应用于拍摄运动物体之前，人们很难认识到这个事实。而德加却是具有这样慧眼的人。

     “舞台上的舞女”画了一个跳芭蕾的少女在单腿旋转的一刹那。虽然画家描述的仍然是难以持续较长的动作，但人物的表情却不再清晰。那模糊的舞台背景，飘逸的舞裙，飞扬的发辫，迷幻的色彩给人以眩晕的感觉，巧妙地画出了旋转的印象，在静态画布体现了比古典画更生动的动感。

     保罗·塞尚(PaulCézanne，1839—1906)法国著名画家，后印象派的主将，作为现代艺术的先驱，从19世纪末便被推崇为“新艺术之父”，也被称为“现代艺术之父”或“现代绘画之父”。他对空间感的追求和表现，为“立体派”开启了新河。 他大大改变了静物画画法，将不稳定引进了静物画，从而开创了一代画风，对后来影响巨大。

     所谓静物画，即以相对静止的物体为主要描绘题材的绘画。这种物体(如花卉、蔬果、器皿、书册、食品和餐具等等)是根据作者创作构思的需要，经过认真选择，精心摆布，通过形象和色调的关系创造的艺术品。静物画不需要模特儿，所以创作的条件相应简单，但其表现力仍然强大。为了欣赏塞尚的静物画，我们先看两幅塞尚之前的两幅典型的静物画。第一副是宋朝李嵩(1163-1243)的花篮图，第二副是华盛顿国家美术馆收藏的 Balthasar van der Ast (1593-1657) 1622年画的果篮。

     这两副画基本忠实原型，只是画家通过物品的安排使画面的分布错落有致，主次分明，色彩对比协调，物体仿真可触。第二幅画更通过光线的明暗增加了画面的深度。这些静物画都给观众一种永恒的安静感觉。

     到了塞尚，这种安静被打破了。塞尚以他不断探索的开拓精神，对静物画进行了一场革命。他深愔动和静的辩证关系，力求在静物画中画出动来。塞尚和德加不同，德加是将“动”的物体画出“动”来，而塞尚则是将“静”的物体画出“动”来。显然塞尚更胜一筹。在数学的观点看来， 静状态并不是永恒的，它只是被看成在各种条件下的平衡态，而平衡态被分为稳态平衡和不稳态平衡。这种稳态和不稳态也是相对的，在一定条件下可以互相转换。塞尚就在他的作品中表现了这种不稳定的平衡态。在塞尚的时代，微分方程和动力系统得到了长足的进步，人们对这些稳定和不稳定的平衡态有了不断深刻的认识。同在法国的数学伟人庞加莱等人为此做出了重大贡献。这种思想形成的氛围其影响是相互的。在今天，平衡态被用到了各个领域，并在优化、管理和预测等发面发挥着巨大作用，如天才数学家纳什将其应用到经济领域，并称其为均衡，并以此获得1994年诺贝尔经济学奖。

     塞尚画了许多静物画，下面我们来欣赏他其中的一副。

    

     咋看到这幅画时，并没有不稳定的感觉，但仔细观看，发现了太多不稳定的因素：倾斜的桌面，易滚动的苹果，滑落的台布，扭歪的托盘。但好像这些不稳定元素互相牵制都为平衡做出了贡献——台布虽乱增加了摩擦延缓了苹果的滚动，而其中的一个苹果又像是压住了台布的滑势；水果刀好像是抵死支撑住了桌子的倾斜；那托盘借住苹果和葡萄这大珠小珠的力量，为了拉住滚动使劲用力都扭曲地变了型；甚至桌后墙面的壁画中的枝叶都挣扎着强伸头出来试图拉一把；那个若隐若现的透明酒杯上半截在壁画里，下半截在桌面上，像是起到了一个虚拟钉子的作用；而所有的苹果如果不滚动都隐含布排成了稳定的三角形。这些不同的势力互相牵制的结果，使得画面达到了一种微妙但脆弱的平衡，但只要有一个因素变化，这种平衡就会被打破，所以塞尚天才地画出了一个不稳定的平衡态，一个不静的静物画。

     说到动态，就不能不提梵高。梵高和塞尚是同时代的人，我们回过头来惊叹，那个时代在欧洲，涌现了一批几乎囊括各行各业的伟人。如果说塞尚是在理性地追求超脱静物的隐含的“动”，那么梵高则是感性地宣泄流淌在情感里抽象的“动”。梵高这位易激动神经质的艺术家，在短暂一生中探索表现主义的绘画语言表达心灵情感，浓重响亮的色彩对比往往达到极限,留下大量杰作。 在他画中，那富于激情的笔触使他的麦田、柏树、星空等有如火焰般升腾、旋转、跃动，震撼观者的心灵。强烈的情感完全溶化在色彩与笔触中。欣赏了梵高的画，我一直感叹梵高到底有一双什么样的眼睛？这双眼睛为什么可以穿透重重迭迭的表面障碍，看见现象的本质？为什么可以超越冥冥漫漫的时间空间，看到未来人们才能了解到的事实？而这些东西又是如何通过他神奇的画笔展现给我们？

    

     文森特.威廉.梵高(Vincent Willem van Gogh，1853-1890)，荷兰印象派代表性画家。 做过职员、经纪人、传教士。

    他早期画风朴实。1886年到巴黎结识印象派使其画风巨变，由沉闷昏暗变得简洁明亮和色彩强烈。1888年来到法国南部时，已形成了自己风格。37岁时在精神错乱中开枪自杀。在他生命的最后两年，甚至在精神病院的日子里，他处于一种极度亢奋的创作状态，完成了众多名垂千史的巨作。他就像他画中的向日葵如火焰般燃烧尽所有的激情后走到生命的终点。

    

     这幅画是他在他生命的最后一年在精神病院里完成的，据说是他画的是他病房窗外的景色。在梵高的笔下，宁静广籁无垠而又神秘的夜空被画成了激荡流动徊旋而又梦幻的天幕。梵高的“动”已不再是一瞬间，而是扩展到了整个流程，甚至延伸到宇宙的起点。那现实中的一棵树给画成了黑色的火焰，直指夜空，和右上角那夜间似乎不可能如此明亮的大星月形成对比，而其他的小树都成了流线的一部分，让人感到世俗和宇寰是这样剧烈地融合。

     学过动力系统的朋友会感到，这个图几乎包括了动力系统的各种收敛或发散的极限状态。在似乎安宁的夜空中，空气是在流动的，敏感的梵高感受到了这一切。我们知道在当时数学界对流体力学的研究已经取得了令人瞩目的成就，从牛顿第二定律出发的被称为流体力学经典的由纳维(Claude-Louis Navier，1785-1836)和斯托克斯(George Gabriel Stokes，1819-1903)导出的纳维-斯托克斯方程(Navier-Stokes equations)已经建立：

    

     其中，v是流体速度，▽是拉普拉斯算子；ρ是流体密度；p 是压力，T=μ▽v 是应力张量，μ是粘性系数，f 是体力。当时除了对水流有了一系列的研究成果外，虽空气动力学的研究也取得了很大成就，为人们的飞行打下了理论基础。梵高逝世后的13年，赖特兄弟将人类第一架飞机开上了蓝天。下面的图显示了飞机飞行时机翼所卷起的湍流，与梵高在思想遨游夜空时所体验的景象何其相似!

    

     在梵高的星空中心，我们还看到了一个太极雏形，和我们古老的中国哲学不谋而合。我们的老祖宗对宇宙之初的解释是：“是故易有太极，是生两仪；两仪生四象； 四象生八卦。”这是不是梵高从深邃无垠的夜空中所领悟到的宇宙元态？

    

     作者简介：梁进，1989年获北京大学理学博士学位，后在欧洲游学工作多年，2005年回国任同济大学数学科学学院教授，博士生导师。研究方向：金融数学。发表学术论文近百篇，是国家自然科学基金项目和国家品牌课程主持人，出版了多本专著、译著、教材和散文通识文集。

     来源：科学网博客(一叶知秋)

     编辑：X.B.Liu

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