数学与物理桥梁下的鸟瞰
2018/8/5 17:09:10 中科院物理所
文：Natalie Paquette
翻译： 安宇森
译者序：
本文作者NataliePaquette是加州理工学院的一名博士后研究员。这篇精彩的文章涵盖了数学物理的诸多领域，介绍了其中令人拍案叫绝的科研进展。通过拓扑场论，Donaldson理论，枚举几何，魔群月光等方向，展示了数学和物理之间深刻的相似性，体现了物理学的思想对于数学发展的启发。是一篇不可多得的数学物理科普佳作。
弦理论是一个引力的量子理论。Albert Einstein的广义相对论可以从弦论的方程中自然的衍生出来。这个结果是自洽的，因为它的计算并不会导致发散。弦理论也许是唯一自洽的引力的量子理论。如果它是对的，那么它将具有巨大的价值。无论它是不是对的，弦理论都无疑是数学中许多惊人的想法的来源。这是非常奇怪的一件事。因为之前总是数学影响物理学。当爱因斯坦努力的想要表达广义相对论的时候，他发现他需要的工具早在60年前就已经被黎曼创造出来了。这是个典型的例子。并且数学家在物理学家开始用群论之前早就发现了它。而在弦理论中，这却是反过来的。物理学将它尊贵的想法提供给了数学。这个结果就是Greg Moore所说的物理数学。
拓扑场论
我们总是在平直的空间背景下发现物理。弹力球是圆的，但是桌子是平的。在地球表面做实验的时候，我们认为地球的曲率是可以忽略的，将三维的欧式空间作为我们的背景。从球面推到环面，再继续推广，我们可以在更多的形状上研究物理系统。这些提供了一个不同且令人兴奋的理解物理的方式。一个被束缚在有磁场流通过的球上的电子只能占据特定的量子化的能级。相似的，一个环面有两个非平庸的环路(cycle)。弦的缠绕数记录了它在每个环路(cycle)中绕了多少次。
量子力学是一回事，狭义相对论是另一回事。这些理论不是自然的共存的。正统的量子力学不允许粒子的产生和湮灭。狭义相对论支持它们。我们需要引入场来处理这个不一致。量子场论是满足狭义相对论的量子力学系统。标准模型是一个量子场论。物理学家总是给量子场论以额外的对称性。例如，超对称理论要求粒子是配对的。对于每个玻色粒子总有一个费米子作为超伙伴。
超对称场论有一个令人沮丧的障碍。假设一个超对称量子场论定义在一个一般的弯曲流形上。牛顿物理的欧式度规和狭义相对论的洛伦兹度规被流形自己的度规代替。超荷对应于守恒的Killing旋量。在平空间下Killing旋量方程的解有很多，但是在弯曲空间下这个解变的非常的有限。它们太有限了，以至于一般情况下是没有解的。将一个平空间的超对称场论推广到一般的弯曲流形上破缺了所有的超对称。卡拉比-丘流形，它们是满足特定的平直性质-----里奇平直性，一种弱化了的平直性的流形。它们允许有守恒的Killing旋量。
但是球面没有这样的解。
上世纪80年代，Edward Witten给物理学家介绍了拓扑扭变。一个扭变可以成功的将超对称场论耦合到弯曲流形上。选取正确的扭变，Killing旋量方程的非平庸解就会出现。这很大程度上是一种营救措施，我们拯救了一部分在平空间中发现的超对称。扭变理论中的物理观测量就是非扭变理论中出现的观测量的子集。尽管非扭变理论中的观测量，在诸多因素中，依赖于背景流形的精确几何结构，出现在扭变理论中的子集只依赖于流形拓扑方面的细节。
这是重要的，并且在数学上也是重要的。
拓扑扭变场论有时也被叫做上同调场论。这个扭变给这一个理论提供了格拉斯曼或者反对易的标量对称性Q。物理可观测量在这个对称性的上同调中。度规的变形对于Q算子是恰当的，它立刻强化了理论的关联函数的度规无关性。对于Q操作闭的场的关联函数某些时候可以通过强大的超对称局域化的技术来精确计算。
这些可以计算的关联函数是拓扑或者几何的不变量。即使不考虑物理，这些不变量依然是许多数学课题的焦点。
Edward Witten
Donaldson理论
四维几何具有丰富的特殊结构。数学家的第一要务是通过对四维流形进行分类来给这个丰富的结构赋予秩序。不是每件事都马上要做。关键的事情要先做。例如什么时候两个流形是拓扑等价的，即同胚的。在1982年，Michael Feedman展示了两个流形是同胚的当且仅当它们在(上)同调格子里有着相同的相交形式(intersection form)。其次重要的是，同胚的流形不一定是微分同胚的。作为光滑流形它们不是等价的。光滑性给流形之间提出了新的层面上的问题。如何分辨相互之间同胚但不是微分同胚的流形和相互之间微分同胚的流形？1983年，Donaldson在四维光滑流形中引入了一系列的不变量，用以区分同胚但不是微分同胚的流形。Donaldson不变量有着严格的几何定义，但是它们却受到了杨米尔斯规范理论的瞬子构形的启发。这个构形是理论的运动方程的解。在数学家之间，这个解叫做反自对偶联络。
给定一个李群G和M上的一个主丛P。联络是A，这个量可以和平移的概念结合起来。物理学家把A叫做规范场，就像所有其他的场一样，A在路径积分中是允许涨落的。M上还有其他自然的矢量丛。通过应用G的主丛，这些是和G的表示相关的伴丛。它们的联络可以从A诱导出来。物理学家把这看作物质场。A的曲率是一个叫做规范场强的二形式，它可能会分解成自对偶和反自对偶的分量。如果一个场强是完全反自对偶的，那么它们在M上的积分是一个正整数，叫做瞬子数。反自对偶联络使杨米尔斯作用量取极小值，因此不同的瞬子数标志着不同的拓扑分支，或者叫做场构形空间中的不同区域。对于一个固定的瞬子数，对于可能的反自对偶(ASD)联络存在一个抽象的几何空间--瞬子模空间。在最简单的情况下，模空间的方向对应于一些参数，例如瞬子的空间位置。
Donaldson用微分形式的积分定义了他的拓扑不变量。微分形式的积分并不比高等微积分更为复杂，但是Donaldson对于这些技术的使用给人最为印象深刻的一点是，他决定在反自对偶(ASD)联络的模空间下计算这些积分。Donaldson也构造了一个映射来从M的同调群中得到合适的微分形式。
在理解Donaldson不变量的过程中，物理学家挖到宝了。他们提供了一个实际的计算，和在完成证明中需要的几个重要概念。M上的Donaldson不变量能够被整理成Donaldson-Witten生成函数。“Donaldson-Witten”中的Witten是Edward Witten，唯一一个得到了菲尔兹奖的物理学家。
在1994年，Witten给数学家引入了杨-米尔斯的扭变超对称版本，将这个理论放在了弯曲的四维流形上。这个结果是Donaldson-Witten理论。Donaldson不变量变成了扭变杨米尔斯的关联函数。每个关联函数用来计算Donaldson-Witten生成函数的一个系数。Witten清楚具体的展示了拓扑场论中规范不变的多项式，以及它们的Q对称性，是如何生成Donaldson映射的像中所有的微分形式的。
Seiberg和Witten之后做了一个关于超对称规范理论的漂亮的工作，发现它们的行为等价于一个描述弱耦合磁单极的场论。这两个看上去不同的物理系统之间的等价性叫做对偶。它们在场论和弦论中到处都是。这个系统的一种描述是容易研究的，而另一种通常不是。
Seiberg和Witten的工作导致了一类新的可以计算的几何不变量，叫做Seiberg-Witten不变量，它计数了磁单极方程的解。Witten描述道，这些不变量表达了Donaldson不变量能提供的所有信息，但是它们简单的磁单极描述使得Donaldson不变量的许多性质非常的平常并且很容易计算。隔了几周之后，Donaldson写道：“ 长时间的问题解决了，新的预想不到的结果发现了，已知的结果有了新的证明，研究的新天地打开了。”
深刻而困难的数学想法的极端简化的版本是从理论物理中获得的。数学家从没想过可以得到它，而物理学家从没想过可以给出它。
镜像对称
弦理论是在一个空间维度下延展的，并且在时空中运动。随着它的运动，弦在时空中扫出了一个二维面，它的世界面。弦世界面的上的场论即是共形不变的又是超对称的。共形对称性和系统的尺度不变性有着密切的联系。不论是放大还是缩小，这个系统总是不变的。
枚举几何是用来计数自然的几何问题中解的数量的学问。在公元前200年，Apollonius 想要知道如何寻找在一个平面上和三个给定的圆同时相切的圆的个数。总共有8个。如果Apollonius活到现在，他可能想要问有多少个面可以被镶嵌到一个高维的流形里，例如卡拉比-丘流形。
在一个卡拉比-丘流形上传播的弦可能会通过它对于复曲线的个数非常敏感这一点来探索这个几何。这个信息非常的有用，因为就是这些数列举了弦的世界面可能镶嵌进卡拉比-丘流形上的可能的方式。考虑一系列从黎曼面(或者叫世界面)到卡拉比-丘流形X的映射。描述它的二维的量子场论叫做超对称-非线性sigma理论。二维的玻色场可以理解成X上的局域的坐标。费米场和规范场映射到相应的丛的截面上，作用量中的耦合常数是和X相关的几何参数。玻色动能项的耦合常数就是X上的度规。
弦理论针对于枚举几何有很多可以说的，如果它能够在sigma模型里分离出编码流形上曲线数量的数据的话，就可以说的更多。
有这个提取过程的印象，我们可以将非线性sigma模型进行拓扑扭变。二维的拓扑扭变是可能的，有A扭变和B扭变两种方式，有A(X)和B(X)两种理论。它们都是拓扑场论，可以用自身相应的方式和Donaldson-Witten理论进行对比。它们的关联函数和二维的世界面上的度规是没有关系的。另一方面，根据扭变，这些关联函数有着不同的时空解释，每一个对应于在非扭变模型里映射的不同的子集。A扭变将变量局域在了一个X上的全纯映射中。而B扭变，局域化选取了常数映射。
尽管两个扭变产生了看起来非常不同的理论，后来发现A和B扭变的区别只是符号的差别。在一个非扭变的理论中，有一个sigma模型之间的同构映射，区别仅在于符号。一个sigma模型有一个靶空间卡拉比-丘流形X. 另一个则是卡拉比-丘空间Y。这个等价性叫做镜像对称性。Y是X的镜像。在扭变理论的层次上，这个等价性变成了等式A(X)=B(Y),. 因为常数映射很容易去研究而全纯映射不那么容易，在B(Y)中计算物理量是计算A(X)中的物理量的一个有力的方法。
这导致了Gromov-Witten不变量，它直接和计数曲线有关。镜像对称的威力第一次在简单的卡拉比丘流形五次型(quantic)中展现了出来。在流形中曲线的计数可以通过曲线的等级简化，然后变成一个用来表达每一级曲线数目的生成函数。曲线越复杂精巧，它的等级越高。随着等级的升高，曲线的数目会激增。等级1的曲线就是直线，在五次型卡拉比丘空间中直线的数目很容易计算。这由Hermann Schubert在19世纪末就得到了。在五次型中有2875个复直线。在1986年，SheldonKalz确定了五次型包括609250条等级为2的曲线。
枚举几何的进展是缓慢的，计算很快就变得非常繁琐。如果任何人想要通过蛮力来数等级为3的曲线的数目，那么他的工作将是极其艰辛的。
Philip Candelas等人在1990s开始研究五次型(quantic)上的弦论。他们是由镜像对称性指引的。指定五次型为X，它的镜像是Y。考虑A(X)，拉式量有一项是Q恰当的，因此在算符的上同调类中是平庸的。剩下的项是一个凯勒形式的积分，凯勒形式是一个微分形式。正是这一形式允许我们测量卡拉比丘流形X中的环的体积。A(X)只依赖于凯勒形式。A(X)上的关联函数退化到全纯映射空间下的积分，这正好和Gromov-Witten不变量一致。Sigma模型要求一个困难的非微扰修正的无穷级数。因为镜像对称性的魔力，它们一定等价于B(Y)上的一个量，它们退化到恒等映射空间中的积分。这些积分正好就是经典下精确叫做周期的量，这个量依赖于Y的复结构。凯勒结构控制着流形或者子流形的尺度，其上的复结构和它的形状。Candelas等人能够计算Y的周期积分，用一个大胆的叫做镜面映射的变量替换，通过在全纯映射的等级下一级一级的做，来将答案进行展开来提取Gromov-Witten不变量。
紧接着就是物理数学的令人眩目的演出了
Candelas等人用镜像流形中漫步的时候，数学家正在努力用他们复杂的工具和一系列天才的计算机程序来计数等级为3的曲线。Geir Ellingsrud and Stein Str?mme 猜测有 2,682,549,425 个这样的曲线，解析的计算方法和证明这时没用了，而简单粗暴的方法胜出了。他们在伯克利的数学研究机构展示了这个结果。那是1991年，Candelas和他的同事表示异议，这个数是317206375.数学家很怀疑。在镜像对称性中，物理学家用了数学家没有听说过的技巧。他们的计算依赖于一个非凡的猜想，在一个卡拉比丘流形中的经典的周期积分等价于另外一个完全不同的卡拉比丘流形中计数的曲线数目。这个命题，如果是对的，就是革命性的。Ellingsrud和Stromme谨慎的检查了他们的工作，然后在计算机程序中发现了一个错误。
他们宣布他们的修正：物理学胜利了。
丘成桐先生
魔群月光猜想
高能物理学家用对称性来编织他们的理论。超对称和共形对称是其中的例子。一个物理理论的很多方面，像是粒子激发，是要求它们和系统的对称性相容来限制的。群理论无处不在。
有限群包含有限个元素。一般来说，有限群可以分解成正规子序列，在这个序列中每个群都是下一个群的正规子群。有限单群是没有非平庸的正规子群的那些有限群。它们是有限群的基本组成元。有限单群类似于素数。随着有限群理解的深入，数学家表达了想要将它们分类的愿望。在几十年的繁琐枯燥的合作之后，2004年，他们完成了这件事。有限单群分类为18个被理解的很好的群，例如素数阶的循环群，还有26个额外或者叫做散在的单群。在散在单群中，最大的就是魔群，魔群中包含了1054个元素。许多其他的散在的单群可以作为这个怪物的子商群被实现。散在单群是奇特的结构，它们在数学中是否具有更深层次的意义依然是有待研究的。
这个问题的答案和魔群的表示密切相关，一个表示是将一个抽象的群用线性空间的变换具体化，因此将一个抽象的群中的元素和一个矩阵结合起来。矩阵的大小是表示的维数。不可约表示构成一个不可分割的表示的完备集，所有其它的表示都可以通过类似直和这样的简单操作从它们构造出来。魔群有194个不可约表示。每个群都有一个一维表示对应于平庸的群操作。在平庸的表示之后，魔群第二小的不可约表示是196883维的，第三小的是21296876维的等等。这些不是能够激发数学家通过精确构造来进行思考的数字。魔群和它作用的自然的对象，直到魔群月光猜想发现之前，依然是神秘的。
模形式在数论中很自然的产生，它们定义在上半复平面上的函数f(τ)。它在τ被一个模群SL2(Z): f(γ.τ) =(cτ + d)kf(τ)上的元素γ 的作用下是协变的。这是一个2 × 2矩阵群，每个元素都是整数且行列式为1. 半整数的k叫做模形式的权重，c和d代表在矩阵γ第二行中的两个整数元素。模形式是重要的数学对象。这个形式的展开式的系数经常是数论学家感兴趣的整数。这些整数等式的证明有时可以通过之前模形式满足的泛函等式进行证明。J函数是一个在模变换下不变的特殊函数，它按照权重为0的模形式进行变换。J函数，实际上，是所有这一类模不变函数的生成元，因为它们都可以由J函数多项式的比表示出来。
接下来一件令人惊奇的物理数学的特征事件发生了，最初由群论学家JohnMcKay在1978年注意到的。当闲着没事翻翻数论书的时候，他发现j函数并且观察到它的傅立叶展开从一个有趣的因子1开始，然后是196884，但是196884=1+196883，这是魔群的头两个不可约表示维数相加得到的维数。他写信给John Tompson，而John Tompson发现j函数的下一个因子是21,493,760 = 21,296,876 +196,883 + 1.
这个优雅的数论结构能够给出最大的散在单群的信息吗？它看上去是令人震惊并且奇怪的。因此得名：魔群月光猜想。
数学家John Conway和Simon Norton，首先通过问一个模对象的特定的类如何编码魔群的数据来将魔群月光猜想表达出来。他们猜想，我们可以对每个魔群上的共轭类赋予一个模函数，这个共轭类在特殊的，亏格为0的SL2(R)的子群G的变换下是不变的。如果是这样，他们的傅立叶展开可能包括魔群的表示的信息。它们的系数是群元素的特征标，模函数和恒等类相联系，那就是J函数.
一系列的猜想以魔群月光猜想而出名。
然后在1992年，它们由Richard Borcherds证明了。他的证明中的一些元素直接受到弦论的启发。他也引入了许多新的数学结构，广义的Kac-Moody代数，这些反过来导致了有趣的物理。许多魔群月光猜想的物理内容，和Borcherds的证明的核心组成部分，来自数学家对于共形场论的完善。在数学中，共形场论叫做顶点算子代数。澄清魔群月光猜想的顶点算子代数是由Igor Frenkel，James Lepowsky，Arne Meurman三人构造的。而翻译到弦论的工作由LanceDixon，Paul Ginsparg，JeffreyHarvey.完成。对于弦论学家，j函数是一个专门的东西，是一个能级上的粒子状态数目的配分函数。魔群在顶点算子代数上通过一个对称性来作用。它和哈密顿量对易并且保持基态不变，尽管真空上的激发态通过对称性的表示来组织起来。
配分函数的模不变性物理上是自然的。考虑一个闭弦圈的世界面上的共形场论。世界面具有圆柱型的拓扑。为了计算配分函数，圆柱的两头融合形成一个环面。欧式的时间坐标起到了有限的温度的作用——这是在量子力学和量子场论中都经常使用的一个认同。模群SL2(Z)是将环面看成是一个拓扑空间后其上的对称群，因此给同胚变换的类指定的群将环面映射到自身。这些对称性不影响背后的物理。这是我们熟悉的在量子力学中计算点粒子不依赖于世界线的参数化这一基本事实在弦理论下的扩展。物理上的一致性要求关于环面的一个任意的参数化不影响像配分函数之类的可观测量。配分函数在SL2(Z).下一定是模不变的
另外一个魔群月光的模函数，和SL2(R)的亏格为0的子群有联系，当亏格为0的群是SL2(Z)的子群时，它也有一个共形场论的理论理解。它们的模不变性的论证和刚刚给出的物理论证是一致的。对于亏格为0但不在SL2(Z)里的SL2(R)的子群，相关函数的模不变性没有明显的解释，不论是物理上的还是数学上的。Borcherds，当然，证明了这个猜想，但是他的证明中的这部分关于亏格为0的性质，需要暴力的验证，而不像是概念上的解释。它在神秘的月光猜想中一直就是一个重要的谜团。就在最近Daniel Persson, Roberto Volpato 和我提出了关于魔群月光中亏格为0的性质的一个概念上的解释，我们用到了杂化弦中时空的性质。这个构造将Borcherd证明中的代数的部分在物理上夯实了。
魔群月光的观察最终是弦论时空和世界面上的对称性的自然结果，产生了令人震惊的代数结构。许多年前，Eugene Wigner问了一个如何解释数学在物理中难以置信的有效性的问题。相比于回答这个问题，因为问出了这个问题使得他的文章是很有影响力的。今天，可能我们可以写一个类似的文章，来寻求为什么物理在数学中那么有效的解释。如果数学和物理在许多层面上是等价的，那么它们的不同将不是内容上的而是技巧上的不同。最终会展示出他们都通向唯一的一个实在。
这么想想是不是非常可爱？
推荐参考资料：
弦论通俗读物：
Brian Greene, The Elegant Universe: Superstrings, Hidden Dimensions, and the Quest for the Ultimate Theory (New York: Vintage, 1999).
弦论教科书：
Joseph Polchinski, String Theory Volume 1: An Introduction to the Bosonic String(Cambridge: Cambridge University Press, 1998);
Joseph Polchinski, String Theory Volume 2: Superstring Theory and Beyond (Cambridge: Cambridge University Press, 1998).
网站：
String Reviews：
http://www.nuclecu.unam.mx/~alberto/physics/stringrev.html
Homepage of Greg Moore:
http://www.physics.rutgers.edu/~gmoore/
来源:中科院理论物理所
编辑：loulou
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