无穷大究竟有多大？离经叛道的英雄往事
2018/9/27 17:00:00 中国科普博览
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无穷有多大
假如有人认真地问你，无穷有多大？你可能会惊异地打量着对方。当你面对一个小孩，你可以亲切地抚摸他的额头，并和颜悦色地告诉他：无穷啊，就是永远也数不过来、想要多大就有多大的大。而如果对方是个成年人，你可能会暗自心惊，担心对方精神出了异常，故作轻松地回答：“我也不知道啊”。
假如有人义正言辞地告诉你，他不仅知道无穷有多大，而且还可以比较不同无穷之间的大小。即使在21世纪的今天，你可能很快也会叹息：哎，又疯了一个。
我们的主人公，德国数学家，格奥力格.康托(Georg Cantor)，就是那个能让后世知道无穷有多大，还能确立它们彼此大小的“疯子”。他天才般的想法超越了人类历史上所有人对无穷的想象，更是破除了人们几千年来对无穷的恐惧。在漫长的岁月里，康托以身涉险，独自步入了曾经只属于神的领地，最终留下一部关于人类探索无穷世界的传奇。
康托(1845-1918)(图片来源：百度图片)
那是一片从未被开垦过的世外桃源，也是一个被神从史前就封印了的潘多拉的魔盒。打开盒子的那一刻，就注定了前方是一条悲情的道路。作为开拓人类思维疆土的勇士，康托孤独地走在布满荆棘的旅途上。没有同行者，只有坚定的信念在支撑着他疲惫的身躯。前方的道路还笼罩在茫茫的迷雾之中，观望的人群却在身后诅咒他离经叛祖的观念，甚至不惜以世俗的力量去压迫和攻击他。
康托的精神世界是落寞的，旁人的眼光是冷漠的。他在19世纪末创立的集合论和超穷数论不仅没有给他带来巨大的显赫名声，反而让他陷入了同时代数学大家们的讥讽和围攻之中。坚强的康托终于倒下了，他一度怀疑自己的研究是否还有意义。1918年，曾经在心灵上饱受重创的康托在德国一家精神病院终止了人生的征途。
时光荏苒，距离康托逝世已经过去整整一百年，人们也已经沿着康托开辟的小径走得非常深远。康拖留下的乐土，将众多数学家置身于一片生机勃勃的伊甸园之中。经过两千多年的发展，数学已经被建构成一座金碧辉煌的大厦，而康托的工作是为这座大厦奠定了坚固的基石。他开创的集合论几乎成了当代数学所有领域的砥柱。
更让人意想不到的是，康托在研究无穷集合时创立的“一一对应”的方法，经过奥地利数学家哥德尔在证明不完备定理时的进一步发展，终于使得英国数学家图灵受到启发，在20世纪早期发明了图灵机。而图灵机的诞生则为整个20世纪的人类文明指定了方向，并最终带领人们迈入21世纪的信息时代。
就这样，一颗把一生奉献给真理的头脑，一个被时代所禁锢的天才，以远远超越当世人所能理解的最大胆的想法，深刻地影响了人类的历史进程。他的名字，注定在人类的功勋史册上熠熠生辉。
康托：无穷世界的奠基人
年轻时的康托(图片来源：https://www.cc362.com/)
19世纪是自然科学的淘金时代，距离牛顿写出《自然哲学的数学原理》已经过去了一个多世纪。牛顿给蒙尘已久的自然界带来第一缕阳光，从此大自然在科学工具的光芒下逐渐退却神秘的面纱。对科学的追求很快让人们尝到了甜头，科学研究成果在短时间内即被转化为生产力和财富，并搭乘工业革命的列车播撒出去，从而大大提升了人们的生活和教育水平。整个社会大量积累的财富又反哺科学的研究，日益完善的大学制度也逐渐将研究科学的任务和使命规范化。有了硬件和软件环境的支持，人类历史上许多杰出的科学大家，都陆续在19世纪的天空下崭露头角。康托，也搭上了历史的幸运列车。
1845年3月3日，格奥力格.康托(Georg Cantor)出生于俄罗斯圣彼得堡。他的父亲是丹麦的富商，母亲则是一位艺术家。康托是父母的第一个孩子，他还有六位弟弟妹妹，良好的家庭环境让他们都受到了很好的教育熏陶。康托先是从一位私人教师那里接受了启蒙教育，随后在圣彼得堡的小学就读。
1856年，康托的父亲因为患病举家迁往德国的法兰克福，从此康托的一生就和德国这片土地紧密地联系在了一起。来到德国后，康托进入了当地的私立中学接受教育。康托热爱学习，且在数学方面尤为突出。从中学时，康托就流露出想成为数学家的心愿，然而父亲却希望他能学习工程。在父亲的眼中，和数学相比，工程是一份更加有前途的职业。康托15岁时，父亲在一封写给他的热情洋溢的信中表达了自己的愿望：“你的父亲，或者说，你的父母以及在俄国、德国、丹麦的其他家人都在注视着你，希望你将来能成为工程学天空下的一颗闪闪发亮的明星”。
康托的母亲具有极高的艺术天性，他和弟妹六人不同程度地继承了母亲的特质，但也正是这种艺术才华塑就了康托不稳定的性格因素。他敏感的头脑因为父亲对他的期盼而开始偏离自己的初衷，并逐渐在取悦父亲的过程中播下了自我怀疑的种子。他的顺从使得他没能成为一个独立的人，更让他不敢轻易地去反对权威。这一切极有可能埋下了康托悲剧的伏笔，他即将在未来的某个时刻，在面临竞争对手的诘难时选择逃避，甚至质疑自己工作的价值。
顽固的父亲最终选择了尊重康托的意愿。在康托17岁从中学毕业的时候，父亲同意康托在大学里继续深造数学。1862年，康托如愿进入了苏黎世大学，次年随着父亲去世，他又转入柏林大学。在柏林大学，他得到了德国当时最杰出的几位数学大家威尔斯特拉斯(Weirstrass)、库默尔(Kummer)、克罗内克(Kronecker)等等的教导。受到他们的影响，康托选择了纯粹数学中的数论作为研究方向。
康托接受高等教育的柏林大学(图片来源：光明图片)
不久后，22岁的康托拿到了柏林大学的博士学位。两年后，他在哈雷大学担任助教，开始研究数论、不定方程和三角级数。从此，康托即将在他注入心血的领域大展拳脚。也许他自己也无法意识到，他即将在数学界掀起多么惊人的滔天巨浪，并因此改变整个数学的面貌。
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出品：科普中国
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