数学史上的三次危机（二）无穷小量的谜踪：追随牛顿的幽灵
2018/9/3 7:00:00 科学大院
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微积分，无疑是人类历史上最伟大的思维成果之一。
牛顿与莱布尼茨(图片来源：百度图片)
它由牛顿(Newton)和莱布尼茨(Leibniz)于17世纪创立。然而，伴随着它的诞生，一个全新的概念——无穷小量即如影随形。它在微积分的规则里，时而显露参与运算，时而隐形全身而去。没有人知道它确切的行踪，但在一行行严密的数学证明中，它的身影却如幽灵般始终挥之不去。无穷小量，成了牛顿终身的梦魇，也成为后人诟病微积分最大的缺陷。直到19世纪，分析的严格化开始展露曙光，无穷小量的迷思终于在困扰世人一个半世纪之后得到澄清。
古希腊哲学家芝诺(图片来源：百度图片)
事实上，早在公元前500年，古希腊就已经萌发了微积分的核心思想——极限逼近。著名的哲学家芝诺(Zeno)曾经提出四个芝诺悖论，它们可以看做是极限思想最早的萌芽。在第一个悖论中，芝诺认为“运动不可能”。比如一个物体要从A点运动到B点，则首先需要运动到A和B的中间点C；而如果物体要运动到C点，则需要首先运动到A和C点之间的中点D。以此类推，这个二分法可以无限进行下去。这样的中点有无穷多个，所以物体永远也到达不了B点。因此，物体根本不可能运动，因为它被道路的无限细分所阻隔。
基于同样的道理，芝诺遂提出更多的悖论，诸如“落后的兔子永远追不上乌龟”、“飞矢不动悖论”、“运动场悖论”等等。现实生活中，人们显然可以把物体从A点移动到B点，落后的兔子也会很快追上乌龟。所有这些，都指向了芝诺悖论的谬误。然而，芝诺悖论里所体现出对空间、时间、无限、连续和运动的看法，给古希腊造成了深深的困惑。这样的困惑，一直延伸到了微积分的诞生。
不仅如此，古希腊科学家阿基米德(Archimedes)使用“穷竭法”来计算圆的周长和面积，其核心方法已经非常接近17世纪微积分的思想。除了古希腊，古代中国的科学家也在探索微积分的道路上取得了惊人的进展。魏晋时期最伟大的数学家刘徽发明了割圆术来计算圆周的精确数值。随后，割圆术被南北朝时期的数学家祖冲之发挥到了极致。他计算出圆周率介于3.1415926至3.1415927之间这一惊人的成就。这一成果甚至领先外国1000多年。
阿基米德与欧几里得(图片来源：百度图片)
古希腊的数学在历史上留下了无数绚丽的瑰宝，但随着希腊文明的衰落，也一起进入了长达千年的沉寂期。欧洲数学从此停滞不前，只有欧几里得(Elucid)的《几何原本》和阿基米德(Archimedes)的思想随着数学中心的转移来到了阿拉伯世界。从公元9世纪到16世纪，阿拉伯的数学进入了鼎盛时期。阿拉伯的数学家不仅继承了源自希腊的几何思想，还独自创立了代数学科。直到欧洲文艺复兴过后，东西方的交流通道再度打开。曾经失传的古希腊先贤们的思想结合阿拉伯数学家600多年的数学结晶再次回到了它的故乡-欧洲。
开普勒与伽利略(图片来源：百度图片)
14世纪后，欧洲各国皇室出于航海历的需要，开始出钱资助科学家研究天地星辰的规律。德国天文学家开普勒(Kepler)通过几十年的观星数据，最终发现太阳系的行星沿椭圆轨道运行；意大利科学家伽利略(Galileo)也发现投掷物体会沿着抛物线运动。对天文和力学的研究成果，进一步激发了人们对曲线研究的热情，代数学在这一阶段得到了极大发展。通过代数方法寻求几何问题的解决方案，成为研究曲线运动新的途径。这一切，都为解析几何的发现奠定了基础。
笛卡尔(图片来源：百度图片)
17世纪中叶，法国数学家笛卡尔(Descartes)创立了解析几何。解析几何的横空出世迈出了从常量数学到变量数学的第一步，把自古希腊时代就被割裂的代数与几何、数与形都重新粘合在一起。有了极限思想的启发，结合解析几何的变量思维，微积分作为一门初生的全新学科，呼之欲出。它的诞生需要有人站在更高的角度，聚合无数前人的成就。而让这一理论成真、并焕发无穷生命力的人，就是17世纪的科学巨匠--牛顿(Issac Newton)。
微积分的出现很快在生产和实践上发挥了巨大的作用。通过微积分的预测，人们在草纸上的演算意外地发现了海王星的踪迹，海王星的存在也在后来通过天文望远镜的实测观察予以证实。这件旷古烁今的科学成就让微积分成为无可非议的杰作，更是赋予牛顿前人无可比拟的荣誉和地位。和牛顿同时代的德国数学家莱布尼茨也独立发明了微积分。莱布尼茨还为微积分引入了现代的符号系统，并一直延续至今。后世为了纪念两位科学天才的杰出贡献，遂将微积分的基本公式命名为牛顿-莱布尼茨公式。
牛顿-莱布尼茨公式(图片来源：百度图片)
不过，在微积分创立之初，牛顿和莱布尼茨的工作还远远不够完善。牛顿为了计算微积分所引入的流数法因为模糊不清的表述而遭遇了最广泛的批评。1734年，英国哲学家、大主教贝克莱(Berkeley)直接提出尖锐的问题，将矛头指向微积分的基础--无穷小的问题。
他指出，牛顿为了求出多项式x的n次方的导数，首先假定无穷小量dx的存在，应用二项式(x+dx)的n次方，然后减去x的n次方，得到的增量再除以dx，最后又让dx消失为0。这个假设的关键在于最初无穷小量dx不为零，最后却又让它等于零。这种随心所欲的操作，让dx召之即来、挥之即去，成为幽灵般的存在。这个dx遂被称为“逝去量的灵魂”，成为牛顿一生的梦魇。牛顿无法回答这个问题，只好避而不谈。无穷小量的迷踪不定，从而引起了数学界长达一个半世纪的争论，并最终导致了数学史上的第二次危机。
微积分在最初的发展阶段，更多的强调形式的计算结果而忽视了其原理的可靠性。由于无穷小量的概念没有得到澄清，与此相关的导数、微分、积分，并由此衍生的发散级数的求和等等都成了棘手的问题。
达朗贝尔与拉格朗日(图片来源：百度图片)
18世纪中叶，法国数学家达朗贝尔(D’Alembert)提出把极限理论作为分析严格化的基础。他独辟蹊径地把微分看做是函数的极限，特别指出了一个量是另一个量的极限定义。但他没有逃脱传统的几何方法的影响，没能把极限用严格的形式表述出来。
几乎同时代，另一位法国数学家拉格朗日(Lagrange)则试图摆脱无穷小量和极限的概念，将任何函数展开为无穷的级数之和来定义各阶导数。这类泰勒(Taylor)级数虽然取得了一定的成效，但是同时也有很强的局限性。不仅在应用上无比繁琐，而且因为能表达为泰勒级数的函数自身需要很强的约束条件，这极大地限制了可微分函数的范围。拉格朗日的努力也在一定程度上宣告失败。
(图片来源：百度图片)
直到19世纪20年代，数学家们才开始普遍关注微积分的严格化问题。一系列闪亮的名字即将登场，他们开启了一场持续近半个世纪的接力赛，终于在19世纪末期为数学分析奠定了严格的基础，也将微积分置于前所未有的坚固基石之上，从而顺利结束了第二次数学危机。
挪威数学家阿贝尔(Abel)最早开始积极倡导和推动分析的严格化。作为对阿贝尔呼吁的回应，捷克的数学家波尔查诺(Bolzano)在1816年清楚地提出了级数收敛的概念，并给出了导数等概念的合适定义。事情的伟大转折则要归功于法国的数学家柯西(Cauchy)。
法国数学家柯西(图片来源：百度图片)
柯西于1821-1823年在其著作《分析教程》和《无穷小计算讲义》里给出了数学分析一系列基础概念的清晰定义。例如，他给出了精确的极限定义，并由此建立了现代意义下的连续性、导数、微分、积分、无穷级数等等的概念。特别的，无穷小量，并不是逝去量的灵魂，也不是一个常量，而是一个以零为极限的变量。自此，柯西一举回答了自牛顿时代就困扰世人的无穷小量的行踪问题。
及至魏尔斯特拉斯(Weierstrass)创立了极限理论、戴德金(Dedekind)建立了实数理论以及后来康托(Cantor)集合论的竣工，无穷小量终于现出真身，再也无法隐藏在数学王国的角落里。它是牛顿放出来的幽灵，历经一百五十多年才被后人收服。追逐它谜一样的踪迹则直接促进了现代数学许多分支的诞生，也终于让第二次数学危机落下了帷幕。
(图片来源：百度图片)
危机过后，一切归于平静,数学重又回到了安宁和谐的轨道。遗憾的是，美好的日子并没有持续多久，第二次数学危机的结束很快就引爆了第三次数学危机。这一次的危机比以往的任何风暴都要猛烈，它无疑是数学史上最为深刻的思想交锋，其核心的争论一直延续至今。从某种程度上来说，第三次数学危机塑造了现代文明。众多石破天惊的思想横空出世，它们不仅结出了现代数学的丰硕成果，更深刻地改变了人类的历史。人类文明从此进入了梦寐以求的快车道，向着更加璀璨的未来一路飞驰。
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