系紧的鞋带为什么会自己松开？
2020/12/15 7:00:00 科学大院

     编者按：

     每次出门前，大家都会系好鞋带，但是为什么走着走着鞋带就会自己松开？“系紧的鞋带为什么会自己松开”这个千古之谜，今天大院er请来物理学博士给你讲讲。

     我有一双登山鞋，它的鞋带大概长这样。

    

     图1 登山鞋的鞋带(图片来源：网络)

     每当我穿上它时，我的运动量就有了保障——因为我要不停地弯腰给它系鞋带。有一天我又穿着这双鞋和父亲去爬山，当我再一次不厌其烦地弯腰系鞋带时，父亲终于忍不住说：“你为什么不给它系紧点!你看我的鞋带，从来不会松开。”

     我解释说：“这并不能怪我，这个鞋带是更容易松开的，不信，我从头论证给您听。”

     为啥有些鞋带更容易松开？

     大部分人系鞋带的结是所谓的平结(Square knot)：

    

     图2 平结(图片来源：网络)

     或者纵结(Granny knot )：

    

     图3 纵结(图片来源：网络)

     还有一些其他的不常见的结。不过它们都有一个共同点，就是都包含这样一个结构，跟动滑轮是一样的：

    

     图4 左边是鞋带绳结的结构；它等价于右边的动滑轮(图为作者绘制)

     如果你拉绳头部分，当拉力大于摩擦力时，绳子会滑动。绳头部分会变长，而绳圈部分逐渐缩小，最后绳结被解开。所以这种结统称为“活结”，优点是好解开。

     那么人在走路的时候，没有人去拉绳头，鞋带怎么也会自动解开呢？

     答案是，有一种力在拉绳头，不是灵异事件，这就是惯性力。当你系好鞋带走路或者跑步的时候，由于双脚加速，减速，绳圈和绳头部分会受到惯性力。说通俗点，就是“甩来甩去”的那种力量。

     关于这个问题，加州伯克利的一位教授还专门做了研究。他用高速摄影机拍摄实验对象跑步时鞋带散开的过程，测量出跑步过程中鞋带末端的加速度可以达到7倍的重力加速度 。

     这个加速度乘以绳子头的质量，就等于绳子头受到的惯性力，也就是说绳子头会感受到一个拉力T₁(即图4中“惯性力1”)，这个力可以大到绳头部分自身重量的7倍。与此同时，绳圈部分也感受到一个惯性力(即图4中“惯性力2”)，是和绳头方向相反滑动的拉力。同时鞋带之间还有一个阻碍它自由滑动的摩擦力 f。于是上面的结构就变成了中学物理里出镜率极高的“动滑轮”——绳结相当于有摩擦力的定滑轮、绳圈相当于动滑轮、绳头上的惯性力相当于拉力，而绳圈上的惯性力相当于动滑轮上的重物。

     当绳结处两个惯性力的合力大于摩擦力时，鞋带就会发生滑动。特别是如果绳头方向的惯性力(惯性力1)更大的时候，鞋带就滑向解开的方向；而如果绳圈方向的惯性力(惯性力2)更大的时候，鞋带就向相反的方向滑动，最后鞋带退化成一个死结。而无论是哪个情况，都可以统称为：“你鞋带又散了!”

     鞋带不散6大建议

     那么绳头和绳圈受到的惯性力是什么决定的呢？是由它们的质量和加速度乘积决定的。而它们的质量又是它们各自的长度和鞋带密度的乘积，即：

    

     ( l₁和 l₂分别是绳圈和绳头部分的长度，ρ是鞋带的密度，α是鞋带甩动时产生的加速度；注意：由于绳圈部分是两股绳子，因此它的总长度是2l₂，但因为它是动滑轮，因此绳结处感受到的拉力只是1/2，因此与2l₂的2抵消。)

     因此问题的核心是：| l₁- l₂ |ρα与摩擦力比大小的问题。即：

    

     有了这番分析，我们可以得到几个很实用的建议：

     1、 换用轻质鞋带。这相当于减小鞋带的密度ρ。两个惯性力因此均得以减小。

     2、 保证尽可能地让绳圈部分和绳头部分长度相等，这相当于减小(l₁- l₂)的绝对值, 惯性力的合力因此得到减小。

     3、 走路稳重一点。这相当于减小加速度a，两个惯性力因此得以减小。

     4、 鞋带系紧点!(父母朴素的建议)，相当于提高摩擦力F。

     5、 把硬的圆鞋带换成软的扁鞋带。因为前者在结的位置接触面积小于后者，所以能提供的摩擦力F也小于后者。

     6、 避免使用很重的金属鞋带头。因为这会更加大绳头部分受到的惯性力。

     (7、穿不用系鞋带的鞋~)

     在得到“如何避免鞋带散开”的六条建议以后，我们再反过来看看我这双登山鞋的鞋带：鞋带材质很硬并且截面很圆；鞋带自身很重并且带尖还坠着很重的金属。这种鞋带不容易散开才怪呢!

     至此，我向父亲论证了鞋带频繁散开的主要责任在于鞋带本身，而不是我。父亲听罢沉吟半晌，然后欣慰地颔首道：“学过物理果然不一样，连狡辩都那么有内涵。”

     (文章于2018年8月2日首发于科学大院)

    

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