用数学思维思考问题，才是真正的“开窍”
2023/4/13 17:30:00 三联生活周刊
数学——这可能是大多数人学生时代最大的梦魇，无论是读了三遍最终只能写出一个“解：”的几何大题，还是开始看还是数字写着写着就变成英语的代数，都曾经让年少的我们薅掉好几根头发，甚至有不少大学生在高考和考研选择专业时，都将用不用学数学当成重要考虑因素。
《请回答，1988》剧照
实际上，数学教育的作用，远远不止于应试，数学是一门起源于现实应用的学科，而一切数学理论的学习又都将归于现实应用。比如，早期的几何学诞生于有关长度、角度、面积和体积的经验性定律的收集，这些都是因为实际地质测量勘探、天文等需要而发展的。现在的几何学更是被广泛引用于金融、人工智能、流行病防控等各个重要领域。1950年，一项关于“几何教学目标”的调查访问了500名美国中学教师，绝大多数受访者选择的答案都是“培养清晰的思维习惯和精确的表达习惯”，该答案的支持人数几乎是“传授几何事实和原理”这一答案的两倍。换句话说，几何教学的目标不是给学生灌输关于三角形的所有已知事实，而是培养他们利用原理构建事实的思维习惯。
《心灵捕手》剧照数学思维是我们认识世界的一种工具，借助数学思维的力量，可以帮助我们把事情看得更透彻、更有趣，可以帮助我们解决很多生活中的实际问题。在刘润同计算机科学家、硅谷著名的风险投资人吴军的对谈中，吴军提到：“每个人都一定要有数学思维”。
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在《微积分的力量》《几何学的力量》这套书中，数学家们独具匠心地选取了各类妙趣横生的故事，不仅把百年来数学的发展娓娓道来，还用以幽默诙谐的语气，为我们揭示了数学的奥秘，清晰勾勒出数学的神奇面貌。
几何，构成人生的底层逻辑
几何这个词最早来自于阿拉伯语，指土地的测量。早期的几何学是有关长度、角度、面积和体积的经验性定律的收集，这些都是因为实际地质测量勘探、天文等需要而发展的。所以，数学从最开始诞生就一直是来源于人类的现实生活需要，而非纸上谈兵。
公元前338年，希腊人欧几里得把在他以前的埃及和希腊人的几何学知识加以系统的总结和整理，写了一本书，书名叫做《几何原本》。
欧几里得的《几何原本》是几何学史上有深远影响的一本书。
现今我们学习的几何学课本多是以《几何原本》为依据编写的。
美国总统林肯就极其热爱几何学，林肯从欧几里得几何中汲取了一个理念：只要小心谨慎，就可以在无人质疑的公理基础上，通过严格的演绎步骤，按部就班地建立起一座高大稳固的信仰和认同的大厦。或许你可能还并不理解一个搞政治的人学几何学有什么用，但是，在林肯著名的葛底斯堡演说中，就可以听到欧几里得几何学的回声。他强调美国“奉行人人生而平等的主张(proposition)”。在欧几里得几何中，“proposition”指的是“命题”，即由不证自明的公理经逻辑推导得出的不可否认的事实。
“几何学”一词的最初含义就是“丈量世界”，经过漫长的发展历程，它现在的含义已经包罗万象，可以解释世间万物的运行机制。
几何教学的目标不是给学生灌输关于三角形的所有已知事实，而是培养他们利用原理构建事实的思维习惯，让他们成为像少年林肯那样的学生。几何学体现的数学思维 ，叫做公理体系。什么是公理体系？比如，几何学有一门分科，叫做欧几里得几何，也被称为欧氏几何。欧氏几何有5条最基本的公理，在欧氏几何中，其他所有的定理(或者说命题)，都是以这5条公理为出发点，利用纯逻辑推理的方法推导出来的。从这5条公理出发，可以推导出无数条定理。小到企业经营大到国家治理，都需要制定公理来经营，并且这条公理要有符合逻辑的推导过程，如果一个国家或者企业从内部开始混乱，那便是公理系统出了问题。
古老的几何学在今天还有用吗？
在不少人看来，所谓“几何”，仅仅是一门学生时代的必修课程而已。对于往后的生活，几何的用处其实不大。真是这样的吗？拿最近全球热议的ChatGPT来说，如果你想要理解AI对语言的生成原理，就必须先了解一种叫“马尔可夫链”的概念。
马尔可夫曾自娱自乐地把普希金的诗体小说《叶甫盖尼·奥涅金》的前20000个字母看作由元音字母和辅音字母组成的序列，准确地说，其中元音字母占43.2%，辅音字母占56.8%。人们可能会天真地以为这些字母之间是相互独立的，也就是说，一个辅音字母后面的那个字母也是辅音字母的可能性与该文本中其他任意一个字母是辅音字母的可能性一样大，都是56. 8%。但马尔可夫发现事实并非如此。他费力地把每对连续的字母分成了4类，即辅音-辅音、辅音-元音、元音-辅音、元音-元音，并绘制了示意图。
这是一个马尔可夫链。如果当前字母是辅音字母，那么下一个字母是元音字母的概率为66.3%，是辅音字母的概率为33.7%。双元音字母的概率更小，一个元音字母后面跟着另一个元音字母的概率只有12.8%。这些数字在整个文本中都具有统计稳定性，你可以把它们视为普希金作品的统计学特征。后来，马尔可夫还分析了谢尔盖·阿克萨科夫的小说《孙子巴格罗夫的童年》中的10万个字母。阿克萨科夫作品中的元音字母的占比与普希金作品的差别不太大，为44.9%。但是，阿克萨科夫作品的马尔可夫链看起来与普希金的作品完全不同。说完这一串概率论原理你可能已经开始头疼了，但是别慌!简而言之，马尔科夫链意味着：即使是伟大的诗人，也可以通过数学发现其中存在某种行文规律，只要是有运行规律的东西，就可以存在于可以被几何学丈量的世界中。工程师、数学家克劳德·香农最先意识到，马尔可夫链不仅可用于分析文本，还可以生成文本。
假设你想以ON作为开头，生成一段与书面英语有相同统计性质的文本。那么，你可以用随机数生成器选择下一个字母，它是S的概率为14.7%，是T的概率为11.3%，以此类推。现代的马尔可夫链可以生成非常像人类语言的文本。Open AI推出的GPT-3等语言生成算法是香农的文本机器的精神继承者，只不过前者的训练数据要大得多，输入的也不是三字母组合，而是数百个单词长度的文本块。但是，两者的原理相同：输入一段摘自本书英文版的文本，马尔可夫链生成的下一个单词是“the”、“geometry”或“graupel”的概率有多大?通过不断模仿人类的语言文字习惯，最终，GPT-3算法生成的其他结果看上去与你正在读的这篇推文也没有多大的违和感。
游戏的本质是几何学？
在2021世界计算大会“硬件技术与集成电路”主题峰会上，西安电子科技大学教授、博士生导师焦李成演讲开场时，给台下听众抛出了一个问题：为什么围棋人工智能程序，能够战胜围棋天才？与“阿尔法狗”进行“人机大战”的围棋职业选手柯洁曾给出过他的答案：“我们学的很多东西，不是一条直线往前走的，而是一条磕碰的弯路；而AI通过大量的计算和模拟，把弯路无限缩短成一条直线。”
我们还可以从一个简单的游戏入手来理解几何学与游戏的关系，它就是“尼姆游戏”。该游戏的玩法如下：两个玩家坐在几堆石头前面，轮流拿走石头。你想拿多少块就拿多少块，但每次只能从同一堆石头里拿，这是尼姆游戏唯一的规则。轮到你时，不准不拿石头，也就是说，你至少得拿走一块。谁拿走最后一块石头，谁就是赢家。假设阿克巴和杰夫一起玩尼姆游戏。为简单起见，我们从只有2堆石头、每堆2块开始玩。阿克巴先拿，他该怎么办？阿克巴可以拿走2块，即把其中一堆石头拿光。但这不是一个好主意，因为随后杰夫就会拿光另一堆石头并成为赢家。所以，阿克巴应该从其中一堆石头中拿走1块。但他这样做的结果也好不到哪里去，因为杰夫可以一招制胜——他从另一堆石头中拿走1块，这样两堆石头就各剩下1块。阿克巴明白自己必输无疑，只能郁闷地拿走1块石头。从哪一堆里拿呢?根本不重要，阿克巴也知道这一点。杰夫拿走最后1块石头并赢得游戏。无论阿克巴第一步如何选择，他最后都会输。这个简单的回合制游戏为我们揭示了一个道理：游戏策略的本质仍是几何学。
当石头从两个变为三个、四个、游戏的玩法就会形成一个树状图。游戏的所有可能性都被抽象成了一个几何模型。
如今，游戏厂家已经能通过更复杂的算法来引导AI学习玩家的策略，并让AI在自对弈训练中与不同策略的队友进行组队，从而能更好地理解玩家的意图。
随着游戏中人机算法的升级迭代，你现在打游戏再也不用担心会被喷“你菜得像个人机”了，队友都贴心地劝你“你不如挂会儿机让人机替你打吧。”
加上美国威斯康星大学麦迪逊分校数学教授乔丹·艾伦伯格用风趣诙谐、寓教于乐的文字和现实生活案例告诉我们，几何学非但不是你人生中的“劫难”，更会成为你生活中的助力。
微积分的世界
除了几何外，微积分也是数学领域的高山之一。
如果说《几何学的力量》这本书让几何学变成了一门乐趣非凡的学问。那么《微积分的力量》，这本上市才刚刚2个月，就在豆瓣上被不少相见恨晚的热心观众合力推上了8.8的高分的图书，堪称“学渣”逆袭的利器。
在《微积分的力量》中，没有高深的理论、复杂的公式，不用担心枯燥犯困，应用数学家兼“导游”斯托加茨将用一种“讲故事”和“看展览”的方式为你逐一揭晓答案。在这些生动有趣的对话中，让孩子对微积分有更加立体生动的认知，就像欣赏名画、名曲那样发现微积分之美。可以说，这两本书不是教你如何成为小镇做题家的数学解题方法集，而是告诉你“学数学究竟在现实世界有什么用？”，让我们真正爱上数学。团
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