韩信点兵的趣味数学
2018/1/23 20:32:03 AnnieEasyFM

     三观正的读者都点赞了

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     网友“轩辕黄帝”发来文章(这名字吓我一跳)，写了他过去解奥数题的小文章。文章不长但是挺有意思，曾经被逼着学奥数的同学可以看看。爱好真是个好东西，如果善加利用能制造出很多乐趣。

     文：轩辕黄帝 | 编辑：爽临

    

     从前的爱好奥数，所以拿“韩信点兵”这一经常被提及的中国古代数学问题来练练手，求出它的通解。

     “韩信点兵”问题，大意如此：

     一群人，数量不少，虽难以查出具体数量，却听从指挥，犹如军人，故而托名“韩信点兵”。于是让他们先每三个人一排，余出若干人；再让他们每五个人一排，又余出若干人；再让他们每七个人一排，又余出若干人。而且，这群人的数量，有一个大概的范围。问这群人具体数量是多少。

     举例来说，一群人的数量在800-900之间，每3人一排则余出1人，每5人一排又余出1人，每7人一排还余出1人。则这群人数量，答案是841人。 在金庸的《射雕英雄传》里，瑛姑就曾被黄蓉指点这个问题的解法。黄蓉还给出了古书里所谓的“通解”： 三人同行七十稀，五树梅花廿一枝，七子团圆正半月，除百零五便得知。意思是说，三人一排的余数乘以70，加上五人一排的余数乘以21，再加上七人一排的余数乘以15，再加减若干个105来调节得数的大概范围，就能得出正确答案。

     拿我上一段所举出的例子来说，三人一排的余数是1，则1*70=70；五人一排的余数是1，则1*21=21；七人一排的得数是1，则1*15；然后，70+21+15=106；但是人数的范围在800-900之间，所以加上105*7=735来调节得数的范围，106+735=841。最后，841就是答案。 古书里这所谓的“通解”，其实并非“真正的”通解。

     因为，如果每排的人数，并非分别是3、5、7，而是其他的3个数字，则又该如何解出？所以，这首解题的诗，只不过是一个特例罢了，不是该问题的真正通解。 我给出真正的通解如下： 如果每次排队，每排人数分别是a、b、c，三次站队对应的余出的人数分别为i、j、k，则人数为P=ix+jy+kz-n[a,b,c]，其中，[ ]是表示“最小公倍数”的数学符号，[a,b,c]为a、b、c这三个数字的最小公倍数，n是一个任意整数；x是[b,c]的一个倍数，且被a除的余数是1，同理，y是[a,c]的一个倍数，且被b除的余数是1，z是[a,b]的一个倍数，且被c除的余数是1。

     再拿一个例子来试验一下。比如说，一群人，每9个人一排，余出5个人，每11个人一排，余出7个人，每17个人一排，余出10个人。并且这群人的人数超过10万。问这群人的数量至少是多少。 那么，套入通解的公式中，abc分别为9、11、17，ijk分别为5、7、10，则[a,b,c]=1683，[a,b]=99，[b,c]=187，[a,c]=153。

     先求出i的系数x。

     首先，x是[b,c]=187的整数倍，并且，x除以9的余数必须是1，那么，得出x=187*4=748。同理，y是[a,c]=153的整数倍，并且y除以11的余数必须是1，那么得出y=153*10=1530。同理，z是[a,b]=99的整数倍，并且z除以17的余数必须是1，那么得出z=99*11=1089。 现在我们又得出xyz这三个系数了，再将余数套入公式。

     P=748*5+1530*7+1089*10+n*1683=3740+10710+10890+n*1683=25340+n*1683。题目已经说了，人数超过10万，则用n来调节大小。求出n=45时，大小适宜。所以，P=25340+45*1683=101075。 验证一下，看看对不对。101075/9=11230余5。101075/11=9188余7。101075/17=5945余10。与题设相吻合。 这才是“韩信点兵”问题的真正通解。

     这道题的原理比较复杂，限于精力和篇幅，下次有机会再接着说。

    

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